Câu 4.56 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi:

Câu a​

Trong  mặt phẳng phức cho điểm A biểu diễn số phức . Chứng minh rằng phép biến đổi của mặt phẳng phức biến điểm biểu diễn số phức z tùy ý thành biểu diễn số phức z’ sao cho là phép quay tâm A góc quay
Giải chi tiết:
M là điểm biểu diễn số phức z, M’ là điểm biểu diễn số phức z’.
Khi M trùng với A tức là thì nên A biến thành chính nó. Khi M không trung với A thì và một acgumen của là số đo góc lượng giác (AM, AM') nên góc này là . Từ đó phép biến đổi đang xét là phép quay tâm A, góc quay 

Câu b​

Giả sử ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số . Gọi P, Q theo thứ tự là tâm các hình vuông dựng bên ngoài ABC trên các cạnh AB, AC và gọi N là trung điểm của BC. Tìm các số phức biểu diễn bởi các vectơ rồi chứng minh NQP là tam giác vuông cân.
Giải chi tiết:
(h. 4.15) Giả sử ta đi dọc chu vi tam giác ABC theo ngược chiều quay kim đồng hồ. Khi đó Q là ảnh của C qua phép quay tâm là trung điểm của CA góc quay nên nếu kí hiệu q là số phức biểu diễn bởi điểm Q thì theo câu a) ta có

Từ đó

Đổi thành , thành , ta suy ra p biểu diễn bởi P là

Vậy biểu diễn số phức và biểu diễn số phức
. Rõ  ràng , nên suy ra và vuông góc (h. 4.15)