Câu 4.4 trang 133 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi
\(\left\{ \matrix{
{u_1} = {1 \over 4} \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = u_n^2 + {{{u_n}} \over 2} voi moi n \hfill \cr} \right.\)
Chứng minh rằng

Câu a​

\(0 < {u_n} \le {1 \over 4}\) với mọi n  
Lời giải chi tiết:
\(0 < {u_n} \le {1 \over 4}\) với mọi n     (1)
+) Với  n = 1 \({u_1} = {1 \over 4}\), (1) đúng
+) Giả sử (1) đúng với n = k ta có \(0<u_k\le {1 \over 4}\)
Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1
\({u_{k + 1}} = u_k^2 + {{{u_k}} \over 2} = {u_k}.\left( {{u_k} + {1 \over 2}} \right)  \le {1 \over 4}\)
\(\left( {do 0 < {u_k} \le {1 \over 4}} \right)\)
Vậy (1) đã được chứng minh.

Câu b​

 \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {3 \over 4}\)với mọi n
Từ đó suy ra \(\lim {u_n} = 0\)
Lời giải chi tiết:
\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {u_n} + {1 \over 2} \le {1 \over 4} + {1 \over 2} = {3 \over 4}\) với mọi n
Từ đó suy ra
\(\eqalign{
& {u_2} \le {3 \over 4}{u_1} \cr 
& {u_3} \le {3 \over 4}{u_2} \le {\left({{3 \over 4}} \right)^2}{u_1},... \cr 
& 0 \le {u_n} < {\left({{3 \over 4}} \right)^{n - 1}}{u_1} = {1 \over 4}{\left({{3 \over 4}} \right)^{n - 1}} \cr} \)
\(\lim {{1 \over 4}{\left( {{3 \over 4}} \right)^{n - 1}} } = 0\)
Theo nguyên lý kẹp ta có \(\lim {u_n} = 0\)