Câu 14 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Giải các phương trình sau :
a.  \(\sin 4x = \sin {\pi \over 5}\)
b.  \(\sin \left( {{{x + \pi } \over 5}} \right) = - {1 \over 2}\)
c.  \(\cos {x \over 2} = \cos \sqrt 2 \)
d.  \(\cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = {2 \over 5}.\)

Câu a​

\(\sin 4x = \sin {\pi \over 5}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\sin 4x = \sin {\pi \over 5} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = \frac{\pi }{5} + k2\pi \\
4x = \pi - \frac{\pi }{5} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{2}\\
4x = \frac{{4\pi }}{5} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \frac{\pi }{5} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array} \right., k\in Z
\end{array}\)

Câu b​

\(\sin \left( {{{x + \pi } \over 5}} \right) = - {1 \over 2}\)
Lời giải chi tiết:
Vì \(- {1 \over 2} =- \sin {\pi \over 6} = \sin \left( { - {\pi \over 6}} \right)\) nên:
\(\sin \left( {{{x + \pi } \over 5}} \right) = - {1 \over 2}= \sin \left({ - {\pi \over 6}} \right) \)
\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{{x + \pi } \over 5} = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {{{x + \pi } \over 5} = \pi + {\pi \over 6} + k2\pi } \cr} } \right. \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \pi = - \frac{{5\pi }}{6} + k. 10\pi \\
x + \pi = \frac{{35\pi }}{6} + k. 10\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{{11\pi }}{6} + k. 10\pi \\
x = \frac{{29\pi }}{6} + k. 10\pi
\end{array} \right., k\in Z
\end{array}\)

Câu c​

\(\cos {x \over 2} = \cos \sqrt 2 \)
Lời giải chi tiết:
\(\cos {x \over 2} = \cos \sqrt 2 \)
\(\Leftrightarrow {x \over 2} = \pm \sqrt 2 + k2\pi \)
\(\Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt 2 + k4\pi \left( {k \in\mathbb Z} \right)\)

Câu d​

\(\cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = {2 \over 5}.\)
Lời giải chi tiết:
\(\cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = {2 \over 5}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{{18}} = \pm \arccos \frac{2}{5} + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \pm \arccos \frac{2}{5} - \frac{\pi }{{18}} + k2\pi, k\in Z
\end{array}\)
Cách trình bày khác:
Vì \(0 < {2 \over 5} < 1\) nên có số \(α\) sao cho \(\cos \alpha = {2 \over 5}.\) Do đó :
\(\cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = {2 \over 5}\)
\(\Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = \cos \alpha\)
\(\Leftrightarrow x = \pm \alpha - {\pi \over {18}} + k2\pi, k \in \mathbb Z\)