Google
Câu hỏi: Cắt khối nón $\left( N \right)$ bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy một góc bằng ${{60}^{0}}$ ta được thiết diện là một tam giác vuông cân cạnh huyền $2a$. Thể tích khối nón $\left( N \right)$ bằng
A. $\dfrac{5\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{24}$.
B. $\dfrac{5\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{72}$.
C. $\dfrac{5\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{72}$.
Giả sử khối nón $\left( N \right)$ có đỉnh là $S$, tâm đáy là $O$ và thiết diện là giác vuông cân $SAB$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, khi đó $\widehat{SIO}={{60}^{0}}$, $SI=\dfrac{1}{2}AB=a, SB=SA=a\sqrt{2}$.
Ta có $SO=SI.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}, OB=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{O}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
Vậy $V=\dfrac{1}{3}.\pi .O{{B}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{5\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{24}$.
A. $\dfrac{5\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{24}$.
B. $\dfrac{5\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{72}$.
C. $\dfrac{5\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{8}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{72}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, khi đó $\widehat{SIO}={{60}^{0}}$, $SI=\dfrac{1}{2}AB=a, SB=SA=a\sqrt{2}$.
Ta có $SO=SI.\sin {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}, OB=\sqrt{S{{B}^{2}}-S{{O}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
Vậy $V=\dfrac{1}{3}.\pi .O{{B}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( \dfrac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{5\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{24}$.
Đáp án A.