Google
Câu hỏi: Cắt hình trụ $(T)$ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng $3a$, ta được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng $16{{a}^{2}}$. Diện tích xung quanh của $(T)$ bằng
A. $\dfrac{16\sqrt{13}}{3}\pi {{a}^{2}}$.
B. $4\sqrt{12}\pi {{a}^{2}}$.
C. $\dfrac{8\sqrt{13}}{3}\pi {{a}^{2}}$.
D. $8\sqrt{13}\pi {{a}^{2}}$.
Gọi $(P)$ là mặt phẳng song song với trục $O O^{\prime}$. Theo đề bài ta có: $(P)$ cắt $(T)$ theo thiết diện là hình vuông $A B C D$.
Ta có: $S_{A B C D}=16 a^{2} \Rightarrow A B=A D=4 a$.
Gọi $I$ là trung điểm của $A B \Rightarrow O I \perp A B, O I \perp A D$,
$\Rightarrow O I \perp(A B C D) \Rightarrow d(O,(P))=O I=3 a$.
Ta có: $r=O A=\sqrt{O I^{2}+I A^{2}}=\sqrt{9 a^{2}+4 a^{2}}=a \sqrt{13}$.
Diện tích xung quanh của hình trụ $(S)$ là $S_{x q}=2 \pi \cdot O A \cdot A D=2 \pi \cdot \sqrt{13} a \cdot 4 a=8 \sqrt{13} \pi a^{2}$.
A. $\dfrac{16\sqrt{13}}{3}\pi {{a}^{2}}$.
B. $4\sqrt{12}\pi {{a}^{2}}$.
C. $\dfrac{8\sqrt{13}}{3}\pi {{a}^{2}}$.
D. $8\sqrt{13}\pi {{a}^{2}}$.
Ta có: $S_{A B C D}=16 a^{2} \Rightarrow A B=A D=4 a$.
Gọi $I$ là trung điểm của $A B \Rightarrow O I \perp A B, O I \perp A D$,
$\Rightarrow O I \perp(A B C D) \Rightarrow d(O,(P))=O I=3 a$.
Ta có: $r=O A=\sqrt{O I^{2}+I A^{2}}=\sqrt{9 a^{2}+4 a^{2}}=a \sqrt{13}$.
Diện tích xung quanh của hình trụ $(S)$ là $S_{x q}=2 \pi \cdot O A \cdot A D=2 \pi \cdot \sqrt{13} a \cdot 4 a=8 \sqrt{13} \pi a^{2}$.
Đáp án D.