Google
Câu hỏi: Cắt hình nón đỉnh $I$ bởi một mặt phẳng đi qua trục hình nón ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a\sqrt{2};BC$ là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng $\left( IBC \right)$ tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc ${{60}^{0}}$. Tính theo $a$ diện tích $S$ của tam giác $IBC$.
A. $S=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}$
B. $S=\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}$
C. $S=\dfrac{{{a}^{2}}}{3}$
D. $S=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{6}$
A. $S=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}$
B. $S=\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}$
C. $S=\dfrac{{{a}^{2}}}{3}$
D. $S=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{6}$
Theo bài toán, ta có bán kính $R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2};\ h=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ và $IB=IC=a$.
Gọi $O$ là tâm đáy, $E$ là trung điểm $BC\Rightarrow BC\bot \left( IEO \right)\Rightarrow \widehat{\left( IBC \right);\left( C \right)}=\widehat{IEO}$.
Tam giác $IEO$ vuông tại $O$, có $OE=\dfrac{IO}{\tan \widehat{IEO}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$ và $IE=\dfrac{IO}{\sin \widehat{IEO}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Tam giác $OBE$ vuông tại $E$, có $BE=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{E}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow BC=\dfrac{2\sqrt{3}a}{3}$.
Vậy diện tích tam giác $IBC$ là ${{S}_{\Delta IBC}}=\dfrac{1}{2}IE.BC=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{2}}}{3}$.
Gọi $O$ là tâm đáy, $E$ là trung điểm $BC\Rightarrow BC\bot \left( IEO \right)\Rightarrow \widehat{\left( IBC \right);\left( C \right)}=\widehat{IEO}$.
Tam giác $IEO$ vuông tại $O$, có $OE=\dfrac{IO}{\tan \widehat{IEO}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$ và $IE=\dfrac{IO}{\sin \widehat{IEO}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.
Tam giác $OBE$ vuông tại $E$, có $BE=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{E}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow BC=\dfrac{2\sqrt{3}a}{3}$.
Vậy diện tích tam giác $IBC$ là ${{S}_{\Delta IBC}}=\dfrac{1}{2}IE.BC=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{2}}}{3}$.
Đáp án A.