Google
Câu hỏi: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh S và tạo với đáy một góc bằng $60{}^\circ $ thiết diện thu được là một tam giác đều có diện tích bằng $9\sqrt{3}$. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
A. $9\sqrt{7}\pi $.
B. $9\sqrt{13}\pi $.
C. $9\sqrt{6}\pi $.
D. $9\sqrt{15}\pi $.
Giả sử mặt phẳng đi qua đỉnh S cắt đường tròn đáy của hình nón tại hai điểm $A, B$, $M$ là trung điểm của $AB$ và $I$ là tâm của đường tròn đáy. Khi đó thiết diện thu được là $\Delta SAB$.
Ta có mặt phẳng $(SAB)$ cắt đường tròn đáy theo giao tuyến là $AB$, $SM\bot AB$, $IM\bot AB$, $\Delta SMI$ vuông tại $I$ nên góc giữa mặt phẳng $(SAB)$ và mặt đáy là góc $\widehat{SMI}$ $\Rightarrow \widehat{SMI}=60{}^\circ $
Do $\Delta SAB$ đều nên diện tích tam giác là ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ mà ${{S}_{\Delta SAB}}=9\sqrt{3}$
$\Rightarrow \dfrac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\Leftrightarrow AB=6$ $\Rightarrow AM=\dfrac{AB}{2}=3$ ; $SM=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ ; $l=AB=6$
Tam giác $\Delta SMI$ vuông tại $I$, $\widehat{SMI}=60{}^\circ $ : $\cos \widehat{SMI}=\dfrac{IM}{SM}\Leftrightarrow IM=SM.\cos 60{}^\circ =\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
Tam giác $\Delta AMI$ vuông tại $M$ : $IA=\sqrt{I{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{2}$ $\Rightarrow R=\dfrac{3\sqrt{7}}{2}$
Diện tích xung quanh của hình chóp ${{S}_{xq}}=\pi Rl=\pi .6.\dfrac{3\sqrt{7}}{2}=9\sqrt{7}\pi $
A. $9\sqrt{7}\pi $.
B. $9\sqrt{13}\pi $.
C. $9\sqrt{6}\pi $.
D. $9\sqrt{15}\pi $.
Giả sử mặt phẳng đi qua đỉnh S cắt đường tròn đáy của hình nón tại hai điểm $A, B$, $M$ là trung điểm của $AB$ và $I$ là tâm của đường tròn đáy. Khi đó thiết diện thu được là $\Delta SAB$.
Ta có mặt phẳng $(SAB)$ cắt đường tròn đáy theo giao tuyến là $AB$, $SM\bot AB$, $IM\bot AB$, $\Delta SMI$ vuông tại $I$ nên góc giữa mặt phẳng $(SAB)$ và mặt đáy là góc $\widehat{SMI}$ $\Rightarrow \widehat{SMI}=60{}^\circ $
Do $\Delta SAB$ đều nên diện tích tam giác là ${{S}_{\Delta SAB}}=\dfrac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}$ mà ${{S}_{\Delta SAB}}=9\sqrt{3}$
$\Rightarrow \dfrac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\Leftrightarrow AB=6$ $\Rightarrow AM=\dfrac{AB}{2}=3$ ; $SM=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ ; $l=AB=6$
Tam giác $\Delta SMI$ vuông tại $I$, $\widehat{SMI}=60{}^\circ $ : $\cos \widehat{SMI}=\dfrac{IM}{SM}\Leftrightarrow IM=SM.\cos 60{}^\circ =\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
Tam giác $\Delta AMI$ vuông tại $M$ : $IA=\sqrt{I{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{2}$ $\Rightarrow R=\dfrac{3\sqrt{7}}{2}$
Diện tích xung quanh của hình chóp ${{S}_{xq}}=\pi Rl=\pi .6.\dfrac{3\sqrt{7}}{2}=9\sqrt{7}\pi $
Đáp án A.