Google
Câu hỏi: Cắt ba góc của một tam giác đểu cạnh bằng a các đoạn bằng x, $\left( 0<x<\dfrac{a}{2} \right)$ phần còn lại là một tam giác đều bên ngoài là các hình chữ nhật, rồi gấp các hình chữ nhật lại tạo thành khối lăng trụ tam giác đều như hình vẽ. Tìm độ dài x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.
A. $\dfrac{a}{3}$.
B. $\dfrac{a}{4}$.
C. $\dfrac{a}{5}$.
D. $\dfrac{a}{6}$.
A. $\dfrac{a}{3}$.
B. $\dfrac{a}{4}$.
C. $\dfrac{a}{5}$.
D. $\dfrac{a}{6}$.
Xét tam giác AMI như hình vẽ
,
đặt $AM=x>0,\widehat{MAI}={{30}^{o}}\Rightarrow MI=\dfrac{x}{\sqrt{3}}$
Lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy $a-2x,\left( 0<x<\dfrac{a}{2} \right)$, chiều cao $\dfrac{x}{\sqrt{3}}$ nên thể tích khối lăng trụ là
$V=\dfrac{{{\left( a-2x \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{x}{\sqrt{3}}=\dfrac{{{a}^{2}}x-4a{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}}{4}$
Ta cần tìm $x\in \left( 0;\dfrac{a}{2} \right)$ để thể tích V đạt giá trị lớn nhất.
Xét $f(x)={{a}^{2}}x-4a{{x}^{2}}+4{{x}^{3}},$
có $f'(x)=12{{x}^{2}}-8ax+{{a}^{2}}=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{a}{6} \\
& x=\dfrac{a}{2} (1) \\
\end{aligned} \right.$
Từ bảng biến thiên suy ra thể tích V đạt giá trị lớn nhất khi $x=\dfrac{a}{6}$
đặt $AM=x>0,\widehat{MAI}={{30}^{o}}\Rightarrow MI=\dfrac{x}{\sqrt{3}}$
Lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy $a-2x,\left( 0<x<\dfrac{a}{2} \right)$, chiều cao $\dfrac{x}{\sqrt{3}}$ nên thể tích khối lăng trụ là
$V=\dfrac{{{\left( a-2x \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\dfrac{x}{\sqrt{3}}=\dfrac{{{a}^{2}}x-4a{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}}{4}$
Ta cần tìm $x\in \left( 0;\dfrac{a}{2} \right)$ để thể tích V đạt giá trị lớn nhất.
Xét $f(x)={{a}^{2}}x-4a{{x}^{2}}+4{{x}^{3}},$
có $f'(x)=12{{x}^{2}}-8ax+{{a}^{2}}=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{a}{6} \\
& x=\dfrac{a}{2} (1) \\
\end{aligned} \right.$
Đáp án D.