Google
Câu hỏi: Biết $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}dx}=\dfrac{a}{b}\left( -\sqrt{2}+c \right)$ với $a,b,c\in \mathbb{N},\ \dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+b+c$.
A. -1
B. 7
C. 3
D. 1
A. -1
B. 7
C. 3
D. 1
Đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+1\Rightarrow 2tdt=dx$.
Đổi cận: $\left| \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=1 \\
& x=1\Rightarrow t=\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I=\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\dfrac{\left( {{t}^{2}}-1 \right)2tdt}{t}}=2\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)dt}=2\left( \dfrac{{{t}^{3}}}{3}-t \right)\left| _{1}^{\sqrt{2}} \right.=\dfrac{2}{3}\left( -\sqrt{2}+2 \right)$.
Do đó: $\left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=3 \\
& c=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=7$
Đổi cận: $\left| \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=1 \\
& x=1\Rightarrow t=\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I=\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\dfrac{\left( {{t}^{2}}-1 \right)2tdt}{t}}=2\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)dt}=2\left( \dfrac{{{t}^{3}}}{3}-t \right)\left| _{1}^{\sqrt{2}} \right.=\dfrac{2}{3}\left( -\sqrt{2}+2 \right)$.
Do đó: $\left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=3 \\
& c=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=7$
Đáp án B.