Google
Câu hỏi: Biết $x=\dfrac{9}{4}$ là một nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{a}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)>{{\log }_{a}}\left( -{{x}^{2}}+2x+3 \right)\left( * \right)$ . Khi đó tập nghiệm của bất phương trình$$ $\left( * \right)$ là
A. $T=\left( -1;\dfrac{5}{2} \right)$.
B. $T=\left( \dfrac{5}{2};+\infty \right)$.
C. $T=\left( -\infty ;-1 \right)$.
D. $T=\left( 2;\dfrac{5}{2} \right)$.
A. $T=\left( -1;\dfrac{5}{2} \right)$.
B. $T=\left( \dfrac{5}{2};+\infty \right)$.
C. $T=\left( -\infty ;-1 \right)$.
D. $T=\left( 2;\dfrac{5}{2} \right)$.
Cách 1:
Trường hợp 1: $a>1$
${{\log }_{a}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)>{{\log }_{a}}\left( -{{x}^{2}}+2x+3 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -{{x}^{2}}+2x+3>0 \\
& {{x}^{2}}-x-2>-{{x}^{2}}+2x+3 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1<x<3 \\
& 2{{x}^{2}}-3x-5>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1<x<3 \\
& \left[ \begin{aligned}
& x<-1 \\
& x>\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{5}{2}<x<3$.
Trường hợp 2: $0<a<1$
${{\log }_{a}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)>{{\log }_{a}}\left( -{{x}^{2}}+2x+3 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-2>0 \\
& {{x}^{2}}-x-2<-{{x}^{2}}+2x+3 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& x<-1 \\
& x>2 \\
\end{aligned} \right. \\
& 2{{x}^{2}}-3x-5<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& x<-1 \\
& x>2 \\
\end{aligned} \right. \\
& -1<x<\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<x<\dfrac{5}{2}$.
Mà $x=\dfrac{9}{4}\in \left( 2;\dfrac{5}{2} \right)$ . Vậy tập nghiệm của bất phương trình $\left( * \right)$ là $T=\left( 2;\dfrac{5}{2} \right)$ .
Cách 2:
Vì $x=\dfrac{9}{4}$ là một nghiệm của bất phương trình nên ta có ${{\log }_{a}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)>{{\log }_{a}}\left( -{{x}^{2}}+2x+3 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{a}}\dfrac{13}{16}>{{\log }_{a}}\dfrac{39}{16}\Leftrightarrow 0<a<1$ .
Với $0<a<1$ ta có ${{\log }_{a}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)>{{\log }_{a}}\left( -{{x}^{2}}+2x+3 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-2<-{{x}^{2}}+2x+3 \\
& {{x}^{2}}-x-2>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{{x}^{2}}-3x-5<0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& x<-1 \\
& x>2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1<x<\dfrac{5}{2} \\
& \left[ \begin{aligned}
& x<-1 \\
& x>2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<x<\dfrac{5}{2}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $\left( * \right)$ là $T=\left( 2;\dfrac{5}{2} \right)$ .
Trường hợp 1: $a>1$
${{\log }_{a}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)>{{\log }_{a}}\left( -{{x}^{2}}+2x+3 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -{{x}^{2}}+2x+3>0 \\
& {{x}^{2}}-x-2>-{{x}^{2}}+2x+3 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1<x<3 \\
& 2{{x}^{2}}-3x-5>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1<x<3 \\
& \left[ \begin{aligned}
& x<-1 \\
& x>\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \dfrac{5}{2}<x<3$.
Trường hợp 2: $0<a<1$
${{\log }_{a}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)>{{\log }_{a}}\left( -{{x}^{2}}+2x+3 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-2>0 \\
& {{x}^{2}}-x-2<-{{x}^{2}}+2x+3 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& x<-1 \\
& x>2 \\
\end{aligned} \right. \\
& 2{{x}^{2}}-3x-5<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& x<-1 \\
& x>2 \\
\end{aligned} \right. \\
& -1<x<\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<x<\dfrac{5}{2}$.
Mà $x=\dfrac{9}{4}\in \left( 2;\dfrac{5}{2} \right)$ . Vậy tập nghiệm của bất phương trình $\left( * \right)$ là $T=\left( 2;\dfrac{5}{2} \right)$ .
Cách 2:
Vì $x=\dfrac{9}{4}$ là một nghiệm của bất phương trình nên ta có ${{\log }_{a}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)>{{\log }_{a}}\left( -{{x}^{2}}+2x+3 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{a}}\dfrac{13}{16}>{{\log }_{a}}\dfrac{39}{16}\Leftrightarrow 0<a<1$ .
Với $0<a<1$ ta có ${{\log }_{a}}\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)>{{\log }_{a}}\left( -{{x}^{2}}+2x+3 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-2<-{{x}^{2}}+2x+3 \\
& {{x}^{2}}-x-2>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{{x}^{2}}-3x-5<0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& x<-1 \\
& x>2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1<x<\dfrac{5}{2} \\
& \left[ \begin{aligned}
& x<-1 \\
& x>2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<x<\dfrac{5}{2}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình $\left( * \right)$ là $T=\left( 2;\dfrac{5}{2} \right)$ .
Đáp án D.