Google
Câu hỏi: Biết ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình ${{\log }_{7}}\left( \dfrac{4{{x}^{2}}-4x+1}{2x} \right)+4{{x}^{2}}+1=6x$ và ${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\dfrac{1}{4}\left( a+\sqrt{b} \right)$ với $a,b$ là hai số nguyên dương. Tính $a+b$
A. $a+b=16$.
B. $a+b=11$.
C. $a+b=14$.
D. $a+b=13$.
A. $a+b=16$.
B. $a+b=11$.
C. $a+b=14$.
D. $a+b=13$.
Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& x\ne \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có ${{\log }_{7}}\left( \dfrac{4{{x}^{2}}-4x+1}{2x} \right)+4{{x}^{2}}+1=6x\Leftrightarrow {{\log }_{7}}\left( \dfrac{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}{2x} \right)+4{{x}^{2}}-4x+1=2x$
$\Leftrightarrow {{\log }_{7}}{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{7}}2x+2x\left( 1 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{7}}t+t\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 7}+1>0$ với $t>0$
Vậy hàm số đồng biến với $t>0$.
Phương trình (1) trở thành $f\left( {{\left( 2x-1 \right)}^{2}} \right)=f\left( 2x \right)\Leftrightarrow {{\left( 2x-1 \right)}^{2}}=2x\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4} \\
& x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra ${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\dfrac{9-\sqrt{5}}{4}$ (loại)
${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\dfrac{9+\sqrt{5}}{4}$ (nhận) $\Rightarrow a=9,b=5\Rightarrow a+b=9+5=14$.
& x>0 \\
& x\ne \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có ${{\log }_{7}}\left( \dfrac{4{{x}^{2}}-4x+1}{2x} \right)+4{{x}^{2}}+1=6x\Leftrightarrow {{\log }_{7}}\left( \dfrac{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}{2x} \right)+4{{x}^{2}}-4x+1=2x$
$\Leftrightarrow {{\log }_{7}}{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{7}}2x+2x\left( 1 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{7}}t+t\Leftrightarrow {f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 7}+1>0$ với $t>0$
Vậy hàm số đồng biến với $t>0$.
Phương trình (1) trở thành $f\left( {{\left( 2x-1 \right)}^{2}} \right)=f\left( 2x \right)\Leftrightarrow {{\left( 2x-1 \right)}^{2}}=2x\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4} \\
& x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra ${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\dfrac{9-\sqrt{5}}{4}$ (loại)
${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\dfrac{9+\sqrt{5}}{4}$ (nhận) $\Rightarrow a=9,b=5\Rightarrow a+b=9+5=14$.
Đáp án C.