Google
Câu hỏi: Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình ${{4}^{{{\sin }^{2}}x}}+{{5}^{co{{s}^{2}}x}}\le m{{.7}^{co{{s}^{2}}x}}$ có nghiệm là $m\in \left[ \dfrac{a}{b};+\infty \right)$ với $a,b$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Tổng $S=a+b$ là:
A. $S=13.$
B. $S=15.$
C. $S=9.$
D. $S=11.$
A. $S=13.$
B. $S=15.$
C. $S=9.$
D. $S=11.$
Ta có: ${{4}^{si{{n}^{2}}x}}+{{5}^{co{{s}^{2}}x}}\le m{{.7}^{co{{s}^{2}}x}}\Leftrightarrow 4.{{\left( \dfrac{1}{28} \right)}^{co{{s}^{2}}x}}+{{\left( \dfrac{5}{7} \right)}^{co{{s}^{2}}x}}\le m.$
Xét $f(x)=4.{{\left( \dfrac{1}{28} \right)}^{co{{s}^{2}}x}}+{{\left( \dfrac{5}{7} \right)}^{co{{s}^{2}}x}}$ với $x\in \mathbb{R}$
Do$\left\{ \begin{matrix}
{{\left( \dfrac{1}{28} \right)}^{co{{s}^{2}}x}}\ge \dfrac{1}{28} \\
{{\left( \dfrac{5}{7} \right)}^{co{{s}^{2}}x}}\ge \dfrac{5}{7} \\
\end{matrix} \right. $nên$ f(x)\ge \dfrac{4}{28}+\dfrac{5}{7} $hay$ f(x)\ge \dfrac{6}{7}.$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $co{{s}^{2}}x=1\Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi .$
Vậy $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} f(x)=\dfrac{6}{7}$. Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
$m\ge \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} f(x)\Leftrightarrow m\ge \dfrac{6}{7}$ hay $m\in \left[ \dfrac{6}{7};+\infty \right)\Rightarrow S=13.$
Xét $f(x)=4.{{\left( \dfrac{1}{28} \right)}^{co{{s}^{2}}x}}+{{\left( \dfrac{5}{7} \right)}^{co{{s}^{2}}x}}$ với $x\in \mathbb{R}$
Do$\left\{ \begin{matrix}
{{\left( \dfrac{1}{28} \right)}^{co{{s}^{2}}x}}\ge \dfrac{1}{28} \\
{{\left( \dfrac{5}{7} \right)}^{co{{s}^{2}}x}}\ge \dfrac{5}{7} \\
\end{matrix} \right. $nên$ f(x)\ge \dfrac{4}{28}+\dfrac{5}{7} $hay$ f(x)\ge \dfrac{6}{7}.$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $co{{s}^{2}}x=1\Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi .$
Vậy $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} f(x)=\dfrac{6}{7}$. Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
$m\ge \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} f(x)\Leftrightarrow m\ge \dfrac{6}{7}$ hay $m\in \left[ \dfrac{6}{7};+\infty \right)\Rightarrow S=13.$
Đáp án A.