Google
Câu hỏi: Biết số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}$ và biểu thức $T={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}$ đạt giá tri lớn nhất. Tính $\left| z \right|.$
A. $\left| z \right|=\sqrt{33}$
B. $\left| z \right|=50$
C. $\left| z \right|=\sqrt{10}$
D. $\left| z \right|=5\sqrt{2}$
A. $\left| z \right|=\sqrt{33}$
B. $\left| z \right|=50$
C. $\left| z \right|=\sqrt{10}$
D. $\left| z \right|=5\sqrt{2}$
Đặt $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$
Ta có: $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| \left( a-3 \right)+\left( b-4 \right)i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}=5$
Khi đó $T={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}-\left[ {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right]=4a+2b+3$
Mặt khác theo BĐT Bunhiacopsky ta có: $\left( {{4}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left[ {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}} \right]\ge {{\left[ 4\left( a-3 \right)+2\left( b-4 \right) \right]}^{2}}$
$\Leftrightarrow 100\ge {{\left( 4a+2b-20 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 10\ge 4a+2b-20\ge -10$
Do đó $4a+2b\le 30\Rightarrow T\le 33.$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4a+2b=30 \\
& {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a=b=5\Rightarrow \left| z \right|=5\sqrt{2}.$
Ta có: $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| \left( a-3 \right)+\left( b-4 \right)i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}=5$
Khi đó $T={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}-\left[ {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right]=4a+2b+3$
Mặt khác theo BĐT Bunhiacopsky ta có: $\left( {{4}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left[ {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}} \right]\ge {{\left[ 4\left( a-3 \right)+2\left( b-4 \right) \right]}^{2}}$
$\Leftrightarrow 100\ge {{\left( 4a+2b-20 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 10\ge 4a+2b-20\ge -10$
Do đó $4a+2b\le 30\Rightarrow T\le 33.$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4a+2b=30 \\
& {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a=b=5\Rightarrow \left| z \right|=5\sqrt{2}.$
Đáp án D.