Biết số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}$ và biểu thức $T={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}$ đạt giá trị lớn...

Gọi số phức $z=x+yi\left( x\in \mathbb{R};y\in \mathbb{R} \right).$
Ta có $\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| x+yi-3-4i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=5$
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 3;4 \right),$ bán kính $R=\sqrt{5}\left( 1 \right)$
Mà $T={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{\left| x+yi+2 \right|}^{2}}-{{\left| x+yi-i \right|}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}-\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow T=4x+2y+3\Leftrightarrow 4x+2y+3-T=0$
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $d:4x+2y+3-T=0\left( 2 \right)$
Do tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn hai điều kiện (1) và (2) nên $\left( C \right)$ và $d$ có điểm chung $\Leftrightarrow d\left( I,d \right)\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 4.3+2.4+3-T \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}}\le \sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 23-T \right|\le 10\Leftrightarrow 13\le T\le 33$
$\Leftrightarrow MaxT=33\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=5 \\
& 4x+2y-30=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=5 \\
& y=5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow z=5+5i\Rightarrow \left| z \right|=5\sqrt{2}.$