Google
Câu hỏi: Biết số phức z thỏa mãn $\left| iz-3 \right|=\left| z-2-i \right|$ và $\left| z \right|$ có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức z bằng
A. $\dfrac{-1}{5}.$
B. $\dfrac{2}{5}.$
C. $\dfrac{1}{5}.$
D. $\dfrac{-2}{5}.$
A. $\dfrac{-1}{5}.$
B. $\dfrac{2}{5}.$
C. $\dfrac{1}{5}.$
D. $\dfrac{-2}{5}.$
Đặt $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}.$
Ta có: $\left| iz-3 \right|=\left| z-2-i \right|\Leftrightarrow \left| i\left( a+bi \right)-3 \right|=\left| a+bi-2-i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( -b-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow a+2b=-1\Leftrightarrow a=1-2b.$
$\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -1-2b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{5{{b}^{2}}+4b+1}=\sqrt{5{{\left( b+\dfrac{2}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{5}}.$
$\Rightarrow \left| z \right|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow b=-\dfrac{2}{5}\Rightarrow a=-\dfrac{1}{5}.$
Bước 2: Sử dụng các bất đẳng thức hình học để đưa ra đáp án.
Ta có: $\left| iz-3 \right|=\left| z-2-i \right|\Leftrightarrow \left| i\left( a+bi \right)-3 \right|=\left| a+bi-2-i \right|$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( -b-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow a+2b=-1\Leftrightarrow a=1-2b.$
$\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left( -1-2b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{5{{b}^{2}}+4b+1}=\sqrt{5{{\left( b+\dfrac{2}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{5}}.$
$\Rightarrow \left| z \right|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow b=-\dfrac{2}{5}\Rightarrow a=-\dfrac{1}{5}.$
Note 57: Phương pháp chung
Bước 1: từ giả thiết biến đổi tìm ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z (đường thẳng, đường tròn,.. vv).Bước 2: Sử dụng các bất đẳng thức hình học để đưa ra đáp án.
Đáp án A.