Google
Câu hỏi: Biết số phức $z\ne 0$ và thỏa mãn điều kiện $\left| z-2+2i \right|=2\sqrt{2}$ và $\left| \dfrac{z+1}{\overline{z}+i} \right|=1$. Tính $\left| z+i \right|$.
A. 5
B. $4\sqrt{2}$
C. $\sqrt{41}$
D. $\sqrt{29}$
A. 5
B. $4\sqrt{2}$
C. $\sqrt{41}$
D. $\sqrt{29}$
Đặt $z=a+bi$ ta có: $\left| a-2+\left( b+2 \right)i \right|=2\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}=8$ (1)
Mặt khác $\left| \dfrac{z+1}{\overline{z}+i} \right|=1\Leftrightarrow \left| z+1 \right|=\left| \overline{z}+i \right|\Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( 1-b \right)}^{2}}\Leftrightarrow 2\text{a}=-2b\Leftrightarrow a=-b$
Thế vào (1) ta được ${{\left( a-2 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0\Rightarrow b=0 \\
& a=4\Rightarrow b=-4 \\
\end{aligned} \right.$.
Do $z\ne 0$ nên $z=4-4i$. Vậy $\left| z+i \right|=5$.
Mặt khác $\left| \dfrac{z+1}{\overline{z}+i} \right|=1\Leftrightarrow \left| z+1 \right|=\left| \overline{z}+i \right|\Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( 1-b \right)}^{2}}\Leftrightarrow 2\text{a}=-2b\Leftrightarrow a=-b$
Thế vào (1) ta được ${{\left( a-2 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0\Rightarrow b=0 \\
& a=4\Rightarrow b=-4 \\
\end{aligned} \right.$.
Do $z\ne 0$ nên $z=4-4i$. Vậy $\left| z+i \right|=5$.
Đáp án A.