Google
Câu hỏi: Biết số phức $\text{z}=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $z\left( 2+i \right)\left( 1-2i \right)$ là một số thực và $\left| z-1 \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó biểu thức $P=625\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+2021$ bằng
A. $2412$.
B. $2421$.
C. $12021$.
D. $52021$.
A. $2412$.
B. $2421$.
C. $12021$.
D. $52021$.
Ta có $z\left( 2+i \right)\left( 1-2i \right)=\left( a+bi \right)\left( 4-3i \right)=\left( 4\text{a}+3b \right)+\left( 4b-3\text{a} \right)i$ là số thực nên
$4b-3\text{a}=0\Leftrightarrow b=\dfrac{3a}{4}$.
Mặt khác ta lại có $T=\left| z-1 \right|=\left| \left( a-1 \right)+bi \right|=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}$
$=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3a}{4} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{4}\sqrt{25{{a}^{2}}-32a+16}$
$=\dfrac{1}{4}\sqrt{{{\left( 5a-\dfrac{16}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{144}{25}}\ge \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{144}{25}}=\dfrac{3}{5}$.
Vậy $MinT=\dfrac{3}{5}\Leftrightarrow a=\dfrac{16}{25},b=\dfrac{12}{25}$. Suy ra $P=625\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+2021=2421$.
$4b-3\text{a}=0\Leftrightarrow b=\dfrac{3a}{4}$.
Mặt khác ta lại có $T=\left| z-1 \right|=\left| \left( a-1 \right)+bi \right|=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}$
$=\sqrt{{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3a}{4} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{4}\sqrt{25{{a}^{2}}-32a+16}$
$=\dfrac{1}{4}\sqrt{{{\left( 5a-\dfrac{16}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{144}{25}}\ge \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{144}{25}}=\dfrac{3}{5}$.
Vậy $MinT=\dfrac{3}{5}\Leftrightarrow a=\dfrac{16}{25},b=\dfrac{12}{25}$. Suy ra $P=625\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+2021=2421$.
Đáp án B.