Google
Câu hỏi: Biết S là tập giá trị của m để tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y={{x}^{4}}\text{-}{{\text{m}}^{2}}{{\text{x}}^{3}}\text{-2}{{\text{x}}^{2}}-m$ trên đoạn [0;1] bằng -16. Tính tích các phần tử của S.
A. - 15
B. 2
C. -17
D. -2
A. - 15
B. 2
C. -17
D. -2
Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-3{{m}^{2}}{{x}^{2}}-4x=x\left( 4{{x}^{2}}-3{{m}^{2}}x-4 \right)$
Phương trình $4{{x}^{2}}-3{{m}^{2}}x-4=0$ luôn có nghiệm trái dấu x1,x2 do $ac=-1<0$
Giả sử ${{x}_{1}}<0$ thì ${{x}_{2}}=\dfrac{3{{m}^{2}}+\sqrt{9{{m}^{4}}+64}}{8}\ge \dfrac{\sqrt{64}}{8}=1\Rightarrow 4{{x}^{2}}-3{{m}^{2}}x-4\le 0\left( \forall x\in \left[ 0;1 \right] \right)$
Vậy ${y}'\le 0\left( \forall x\in \left[ 0;1 \right] \right)$ nên hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ là
$y\left( 0 \right)+y\left( 1 \right)=-m+\left( -{{m}^{2}}-m-1 \right)=-{{m}^{2}}-2m-1=-16\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-15=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-5 \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right.$
Tích các phần tử của tập hợp $S$ là -15.
Phương trình $4{{x}^{2}}-3{{m}^{2}}x-4=0$ luôn có nghiệm trái dấu x1,x2 do $ac=-1<0$
Giả sử ${{x}_{1}}<0$ thì ${{x}_{2}}=\dfrac{3{{m}^{2}}+\sqrt{9{{m}^{4}}+64}}{8}\ge \dfrac{\sqrt{64}}{8}=1\Rightarrow 4{{x}^{2}}-3{{m}^{2}}x-4\le 0\left( \forall x\in \left[ 0;1 \right] \right)$
Vậy ${y}'\le 0\left( \forall x\in \left[ 0;1 \right] \right)$ nên hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ là
$y\left( 0 \right)+y\left( 1 \right)=-m+\left( -{{m}^{2}}-m-1 \right)=-{{m}^{2}}-2m-1=-16\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-15=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-5 \\
& m=3 \\
\end{aligned} \right.$
Tích các phần tử của tập hợp $S$ là -15.
Đáp án A.