Biết rằng...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Biết rằng

\int_{2}^{5} \frac{d x}{\sqrt{4 x + 1} + 2 \sqrt{x - 1}} = \frac{a + b \sqrt{21}}{30},

với

a, b \in Z .

Tính

S = a + b .

A.

S = - 1.

B.

S = - 2.

C.

S = - 54.

D.

S = - 62.

Ta có

(\sqrt{4 x + 1} + 2 \sqrt{x - 1}) (\sqrt{4 x + 1} - 2 \sqrt{x - 1}) = (4 x + 1) - 4 (x - 1) = 5

\Rightarrow \int_{2}^{5} \frac{d x}{\sqrt{4 x + 1} + 2 \sqrt{x - 1}} = \int_{2}^{5} \frac{\sqrt{4 x + 1} - 2 \sqrt{x - 1}}{5} d x = \frac{1}{5} \int_{2}^{5} [{(4 x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}] d x

= {[\frac{1}{5} . \frac{1}{4} . \frac{{(4 x + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} . \frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{3}{2}}] |}_{2}^{5} = {[\frac{1}{30} \sqrt{{(4 x + 1)}^{3}} - \frac{4}{15} \sqrt{{(x - 1)}^{3}}] |}_{2}^{5}

= (\frac{21 \sqrt{21}}{30} - \frac{32}{15}) - \frac{19}{30} = \frac{- 83 + 21 \sqrt{21}}{30} \Rightarrow {\begin{aligned} a = - 83 \\ b = 21 \end{aligned} \Rightarrow S = - 62.

Đáp án D.