Biết rằng $x e^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( -x...

The Professor · 15/12/21

Câu hỏi: Biết rằng

x e^{x}

là một nguyên hàm của hàm số

f (- x)

trên khoảng

(- \infty; + \infty)

. Gọi

F (x)

là một nguyên hàm của

f^{'} (x) e^{x}

thỏa mãn

F (0) = 1

, giá trị của

F (- 1)

bằng
A.

\frac{5}{2}

.
B.

\frac{7}{2}

.
C.

\frac{5 - e}{2}

.
D.

\frac{7 - e}{2}

.

Từ giả thiết, ta có

f (- x) = {(x e^{x})}^{'} = (x + 1) e^{x} \Rightarrow f (x) = (1 - x) e^{x}

Suy ra

f^{'} (x) = (x - 2) e^{- x}

.
Khi đó

\int f^{'} (x) e^{x} d x = \int (x - 2) d x = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + C

.
Theo đề bài ta có

F (0) = 1 \Rightarrow C = 1

.
Suy ra

F (x) = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 1 \Rightarrow F (- 1) = \frac{7}{2}

.

Đáp án B.

Biết rằng xex là một nguyên hàm của hàm số $f\left( -x...