Google
Câu hỏi: Biết rằng $x{{e}^{x}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( -x \right)$ trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$. Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của ${f}'\left( x \right){{e}^{x}}$ thỏa mãn $F\left( 0 \right)=1$, giá trị của $F\left( -1 \right)$ bằng
A. $\dfrac{5}{2}$.
B. $\dfrac{7}{2}$.
C. $\dfrac{5-e}{2}$.
D. $\dfrac{7-e}{2}$.
A. $\dfrac{5}{2}$.
B. $\dfrac{7}{2}$.
C. $\dfrac{5-e}{2}$.
D. $\dfrac{7-e}{2}$.
Từ giả thiết, ta có $f\left( -x \right)={{\left( x{{e}^{x}} \right)}^{\prime }}=\left( x+1 \right){{e}^{x}}\Rightarrow f\left( x \right)=\left( 1-x \right){{e}^{x}}$
Suy ra ${f}'\left( x \right)=\left( x-2 \right){{e}^{-x}}$.
Khi đó $\int{{f}'\left( x \right){{e}^{x}}dx}=\int{\left( x-2 \right)dx}=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-2x+C$.
Theo đề bài ta có $F\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=1$.
Suy ra $F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-2x+1\Rightarrow F\left( -1 \right)=\dfrac{7}{2}$.
Suy ra ${f}'\left( x \right)=\left( x-2 \right){{e}^{-x}}$.
Khi đó $\int{{f}'\left( x \right){{e}^{x}}dx}=\int{\left( x-2 \right)dx}=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-2x+C$.
Theo đề bài ta có $F\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=1$.
Suy ra $F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-2x+1\Rightarrow F\left( -1 \right)=\dfrac{7}{2}$.
Đáp án B.