Biết rằng trong tất cả các cặp $\left( x;y \right)$ thỏa mãn bất...

Điều kiện xác định $x+y-1>0$.
Xét phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2 \right)\le 2+{{\log }_{2}}\left( x+y-1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2 \right)\le {{\log }_{2}}4+{{\log }_{2}}\left( x+y-1 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2\le 4\left( x+y-1 \right)$ (Khi đó điều kiện xác định $x+y-1>0$ luôn đúng)
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+6\le 0 \left( 1 \right)$
Cặp $\left( x,y \right)$ thỏa mãn BPT $\left( 1 \right)$ thuộc hình tròn có tâm $I\left( 2;2 \right); R=\sqrt{2}$
Cặp $\left( x,y \right)$ thỏa mãn PT $3x+4y-m=0$ thuộcđường thẳng $d$.
Vì trong tất cả các cặp $\left( x;y \right)$ thỏa mãn ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2 \right)\le 2+{{\log }_{2}}\left( x+y-1 \right)$ chỉ có duy nhất một cặp $\left( x;y \right)$ thỏa mãn $3x+4y-m=0$ nên hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2 \right)\le 2+{{\log }_{2}}\left( x+y-1 \right) \\
& 3x+4y-m=0 \\
\end{aligned} \right.$phải có nghiệm duy nhất .
Khi đó đường thẳng $d$ tiếp xúc với hình tròn có tâm $I\left( 2;2 \right); R=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow d\left( I,d \right)=R$ $\Leftrightarrow \dfrac{\left| 3.2+4.2-m \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| 14-m \right|}{5}=\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow m-14=\pm 5\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow m=14\pm 5\sqrt{2}$.
Vậy tổng tất cả các giá trị $m$ tìm được là $14+5\sqrt{2}+14-5\sqrt{2}=28$. Ta chọn D.