Google
Câu hỏi: Biết rằng tồn tại các số hữu tỷ $a$, $b$, $c$ sao cho $\int\limits_{1}^{\text{e}}{\dfrac{\left( {{x}^{3}}+1 \right)\ln x+{{x}^{2}}+1}{x\ln x+1}\text{d}x}=a.{{\text{e}}^{3}}+b+c.\ln \left( \text{e}+1 \right)$, (với $\text{e}=2,71828...$ là cơ số của logarit tự nhiên). Giá trị của biểu thức $T={{a}^{2}}+8{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ bằng
A. $\dfrac{16}{9}.$.
B. $2.$.
C. $\dfrac{7}{4}.$.
D. $5.$.
A. $\dfrac{16}{9}.$.
B. $2.$.
C. $\dfrac{7}{4}.$.
D. $5.$.
$\int\limits_{1}^{\text{e}}{\dfrac{\left( {{x}^{3}}+1 \right)\ln x+{{x}^{2}}+1}{x\ln x+1}\text{d}x}=\int\limits_{1}^{\text{e}}{\left( {{x}^{2}}+\dfrac{\ln x+1}{x\ln x+1} \right)\text{d}x}=\left. \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}+\ln \left| x\ln x+1 \right| \right) \right|_{1}^{e}$ $=\dfrac{1}{3}{{e}^{3}}-\dfrac{1}{3}+\ln \left( e+1 \right)$.
$\Rightarrow a=\dfrac{1}{3};b=-\dfrac{1}{3};c=1$.
Vậy $T={{a}^{2}}+8{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2$.
$\Rightarrow a=\dfrac{1}{3};b=-\dfrac{1}{3};c=1$.
Vậy $T={{a}^{2}}+8{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2$.
Đáp án B.
