Biết rằng số phức z thỏa mãn $\left|...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Biết rằng số phức z thỏa mãn

| \frac{z + 2 - i}{\overset{―}{z} + 1 - i} | = \sqrt{2}

. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của

| z |

.
A.

min | z | = - 2 + \sqrt{10}; max | z | = 2 + \sqrt{10}

B.

min | z | = - 3 + \sqrt{10}, max | z | = 3 + \sqrt{10}

C. Không tồn tại GTLN, GTNN
D.

min | z | = - 1 + \sqrt{10}, max | z | = 1 + \sqrt{10}

Giả sử

z = x + y i

, ta có:

| \frac{z + 2 - i}{\overset{―}{z} + 1 - i} | = \sqrt{2}

\Leftrightarrow | x + 2 + (y - 1) i | = \sqrt{2} | x + 1 - (y + 1) i |

\Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2 ({(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2})

\Leftrightarrow x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 10

.
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm

I (0; - 3)

, bán kính

R = \sqrt{10}

. Giả sử M là điểm biểu diễn của z thì

{| z |}_{min} \Leftrightarrow O M_{min}

;

{| z |}_{max} \Leftrightarrow O M_{max}

. Tìm được:

min | z | = - 3 + \sqrt{10}

, khi

z = (- 3 + \sqrt{10}) i

max | z | = 3 + \sqrt{10}

, khi

z = - (3 + \sqrt{10}) i

Đáp án B.