Google
Câu hỏi: Biết rằng số phức z thỏa mãn $\left| \dfrac{z+2-i}{\overline{z}+1-i} \right|=\sqrt{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $\left| z \right|$.
A. $\min \left| z \right|=-2+\sqrt{10};\max \left| z \right|=2+\sqrt{10}$
B. $\min \left| z \right|=-3+\sqrt{10},\max \left| z \right|=3+\sqrt{10}$
C. Không tồn tại GTLN, GTNN
D. $\min \left| z \right|=-1+\sqrt{10},\max \left| z \right|=1+\sqrt{10}$
A. $\min \left| z \right|=-2+\sqrt{10};\max \left| z \right|=2+\sqrt{10}$
B. $\min \left| z \right|=-3+\sqrt{10},\max \left| z \right|=3+\sqrt{10}$
C. Không tồn tại GTLN, GTNN
D. $\min \left| z \right|=-1+\sqrt{10},\max \left| z \right|=1+\sqrt{10}$
Giả sử $z=x+yi$, ta có: $\left| \dfrac{z+2-i}{\overline{z}+1-i} \right|=\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \left| x+2+\left( y-1 \right)i \right|=\sqrt{2}\left| x+1-\left( y+1 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=2\left( {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=10$.
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm $I\left( 0;-3 \right)$, bán kính $R=\sqrt{10}$. Giả sử M là điểm biểu diễn của z thì ${{\left| z \right|}_{\min }}\Leftrightarrow O{{M}_{\min }}$ ; ${{\left| z \right|}_{\max }}\Leftrightarrow O{{M}_{\max }}$. Tìm được:
$\min \left| z \right|=-3+\sqrt{10}$, khi $z=\left( -3+\sqrt{10} \right)i$
$\max \left| z \right|=3+\sqrt{10}$, khi $z=-\left( 3+\sqrt{10} \right)i$
$\Leftrightarrow \left| x+2+\left( y-1 \right)i \right|=\sqrt{2}\left| x+1-\left( y+1 \right)i \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=2\left( {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=10$.
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm $I\left( 0;-3 \right)$, bán kính $R=\sqrt{10}$. Giả sử M là điểm biểu diễn của z thì ${{\left| z \right|}_{\min }}\Leftrightarrow O{{M}_{\min }}$ ; ${{\left| z \right|}_{\max }}\Leftrightarrow O{{M}_{\max }}$. Tìm được:
$\min \left| z \right|=-3+\sqrt{10}$, khi $z=\left( -3+\sqrt{10} \right)i$
$\max \left| z \right|=3+\sqrt{10}$, khi $z=-\left( 3+\sqrt{10} \right)i$
Đáp án B.