Google
Câu hỏi: Biết rằng $\sin \alpha , \sin \alpha \cos \alpha , \cos \alpha $ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tính $S=\sin \alpha +\cos \alpha $
A. $S=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
B. $S=\dfrac{1+2\sqrt{3}}{3}$
C. $S=\dfrac{1-2\sqrt{3}}{3}$
D. $S=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$
A. $S=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
B. $S=\dfrac{1+2\sqrt{3}}{3}$
C. $S=\dfrac{1-2\sqrt{3}}{3}$
D. $S=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$
Vì $\sin \alpha , \sin \alpha \cos \alpha , \cos \alpha $ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có
$\sin \alpha +\cos \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =S$
Ta có $S=\sin \alpha +\cos \alpha \Rightarrow {{S}^{2}}={{\sin }^{2}}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1+S$
$\Leftrightarrow {{S}^{2}}-S-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& S=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \\
& S=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Vì $S\in \left[ -\sqrt{2}; \sqrt{2} \right]\Rightarrow S=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$
$\sin \alpha +\cos \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =S$
Ta có $S=\sin \alpha +\cos \alpha \Rightarrow {{S}^{2}}={{\sin }^{2}}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1+S$
$\Leftrightarrow {{S}^{2}}-S-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& S=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \\
& S=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Vì $S\in \left[ -\sqrt{2}; \sqrt{2} \right]\Rightarrow S=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$
Đáp án D.