Google
Câu hỏi: Biết rằng phương trình ${{m}^{2}}{{x}^{2}}\left( mx+3 \right)=\left( {{x}^{2}}+2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}-4mx-2$ (m là tham số thực) có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1;2 \right]$ khi và chỉ khi $m\in \left[ a;b \right]$ với $a,b\in \mathbb{R}.$ Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. $a+b<1.$
B. $a+b>2.$
C. $1<a+b<\dfrac{3}{2}.$
D. $\dfrac{3}{2}<a+b<2.$
A. $a+b<1.$
B. $a+b>2.$
C. $1<a+b<\dfrac{3}{2}.$
D. $\dfrac{3}{2}<a+b<2.$
Ta có ${{\left( mx+1 \right)}^{2}}+mx+1={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{3}}+\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Leftrightarrow f\left( mx+1 \right)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)$
$\Leftrightarrow mx+1=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Leftrightarrow mx=\sqrt{{{x}^{2}}+1}-1\Leftrightarrow mx=\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1}\Rightarrow m=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1}$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1-x.\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1}{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+1 \right)}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+1}}>0,\forall x\in \left( 1;2 \right)$
Từ đó $g\left( 1 \right)\le m\le g\left( 2 \right)\Leftrightarrow \sqrt{2}-1\le m\le \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\Rightarrow a=\sqrt{2}-1;b=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.
$\Leftrightarrow mx+1=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Leftrightarrow mx=\sqrt{{{x}^{2}}+1}-1\Leftrightarrow mx=\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1}\Rightarrow m=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1}$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1-x.\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+1}{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+1 \right)}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}+1}}>0,\forall x\in \left( 1;2 \right)$
Từ đó $g\left( 1 \right)\le m\le g\left( 2 \right)\Leftrightarrow \sqrt{2}-1\le m\le \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\Rightarrow a=\sqrt{2}-1;b=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.
Đáp án C.