Biết rằng phương trình ${{m}^{2}}{{x}^{2}}\left( mx+3...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Biết rằng phương trình

m^{2} x^{2} (m x + 3) = (x^{2} + 2) \sqrt{x^{2} + 1} - 4 m x - 2

(m là tham số thực) có nghiệm thuộc đoạn

[1; 2]

khi và chỉ khi

m \in [a; b]

với

a, b \in R .

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.

a + b < 1.

B.

a + b > 2.

C.

1 < a + b < \frac{3}{2} .

D.

\frac{3}{2} < a + b < 2.

Ta có

{(m x + 1)}^{2} + m x + 1 = {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{3} + \sqrt{x^{2} + 1} \Leftrightarrow f (m x + 1) = f (\sqrt{x^{2} + 1})

\Leftrightarrow m x + 1 = \sqrt{x^{2} + 1} \Leftrightarrow m x = \sqrt{x^{2} + 1} - 1 \Leftrightarrow m x = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1} \Rightarrow m = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}

\Rightarrow g^{'} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1} + 1 - x . \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{{(\sqrt{x^{2} + 1} + 1)}^{2}} = \frac{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}{{(\sqrt{x^{2} + 1} + 1)}^{2} \sqrt{x^{2} + 1}} > 0, \forall x \in (1; 2)

Từ đó

g (1) \leq m \leq g (2) \Leftrightarrow \sqrt{2} - 1 \leq m \leq \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \Rightarrow a = \sqrt{2} - 1; b = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

.

Đáp án C.