Biết rằng phương trình ${{\log }_{3}}\left( {{3}^{x+1}}-1...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Biết rằng phương trình

\log_{3} (3^{x + 1} - 1) = 2 x + \log_{\frac{1}{3}} 2

có hai nghiệm

x_{1}

và

x_{2}

. Hãy tính tổng

S = 27^{x_{1}} + 27^{x_{2}}

.
A.

S = 180

B.

S = 45

C.

S = 9

D.

S = 252

Điều kiện:

3^{x + 1} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1

.
Phương trình tương đương với:

\log_{3} (3^{x + 1} - 1) = 2 x - \log_{3} 2 \Leftrightarrow \log_{3} (3^{x + 1} - 1) + \log_{3} 2 = 2 x

\Leftrightarrow \log_{3} [(3^{x + 1} - 1) .2] = 2 x \Leftrightarrow (3^{x + 1} - 1) .2 = 3^{2 x} \Leftrightarrow {6.3}^{x} - 2 = 3^{2 x}

\Leftrightarrow 3^{2 x} - {6.3}^{x} + 2 = 0 \overset{V i - e t}{\to} {\begin{aligned} 3^{x_{1}} + 3^{x_{2}} = 6 \\ 3^{x_{1}} {.3}^{x_{2}} = 2 \end{aligned}

Ta có

S = 27^{x_{1}} + 27^{x_{2}} = {(3^{x_{1}} + 3^{x_{2}})}^{3} - {3.3}^{x_{1}} {.3}^{x_{2}} . (3^{x_{1}} + 3^{x_{2}}) = 6^{3} - 3.2 .6 = 180

.

Đáp án A.