Biết rằng phương trình ${{\log }_{3}}\left( {{3}^{x+1}}-1 \right)=2x+{{\log }_{\dfrac{1}{3}}}2$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}.$ Hãy tính...

Ta có: ${{\log }_{3}}\left( {{3}^{x+1}}-1 \right)=2x+{{\log }_{\dfrac{1}{3}}}2\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x+1}}-1 \right)={{\log }_{3}}\left( {{3}^{2x}} \right)-{{\log }_{3}}2.$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{3.3}^{x}}-1 \right)={{\log }_{3}}\dfrac{{{3}^{2x}}}{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}>\dfrac{1}{3} \\
& {{3.3}^{x}}-1=\dfrac{{{3}^{2x}}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}>\dfrac{1}{3} \\
& {{3}^{2x}}-{{6.3}^{x}}+2=0\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.. $Giả sử hai nghiệm của phương trình ban đầu là $ {{x}_{1}} $ và $ {{x}_{2}}; $ khi đó phương trình (1) có hai nghiệm là $ {{3}^{{{x}_{1}}}} $ và $ {{3}^{{{x}_{2}}}}.$
Theo định lý Vi-et ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{{{x}_{1}}}}{{.3}^{{{x}_{2}}}}=2 \\
& {{3}^{{{x}_{1}}}}+{{3}^{{{x}_{2}}}}=6 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $S={{27}^{{{x}_{1}}}}+{{27}^{{{x}_{2}}}}={{\left( {{3}^{{{x}_{1}}}} \right)}^{3}}+{{\left( {{3}^{{{x}_{2}}}} \right)}^{3}}={{\left( {{3}^{{{x}_{1}}}}+{{3}^{{{x}_{2}}}} \right)}^{3}}-{{3.3}^{{{x}_{1}}}}{{.3}^{{{x}_{2}}}}\left( {{3}^{{{x}_{1}}}}+{{3}^{{{x}_{2}}}} \right)={{6}^{3}}-3.2.6=180.$