Biết rằng phương trình: ${\log _{3}^{2}x-\left( m+2 \right){{\log...

Điều kiện: $x>0.$
Đặt $t={{\log }_{3}}x \Rightarrow x={{3}^{t}}.$
Phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-\left( m+2 \right)t+3m-1=0\left( 1 \right)$
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( m+2 \right)}^{2}}-4\left( 3m-1 \right)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+8>0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<4-2\sqrt{2} \\
& m>4+2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$
Với điều kiện $\left( * \right)$ phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ với ${{x}_{1}}={{3}^{{{t}_{1}}}}$, ${{x}_{2}}={{3}^{{{t}_{2}}}}$.
Ta có: ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=27\Leftrightarrow {{3}^{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}}=27\Leftrightarrow {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=3$.
Áp dụng định lí Vi-et với phương trình $\left( 1 \right)$ ta có: ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}=m+2=3\Leftrightarrow m=1 $ (thoả).
Với $m=1$ : $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=1\Rightarrow {{x}_{1}}=3 \\
& {{t}_{2}}=2\Rightarrow {{x}_{2}}=9 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó: $2{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2.3+9=15.$