Biết rằng phương trình $\log _{3}^{2}x-\left( m+2 \right){{\log...

Điều kiện: $x>0$.
Đặt ${{\log }_{3}}x=t\Rightarrow x={{3}^{t}}.$
Khi đó ta có phương trình ${{t}^{2}}-\left( m+2 \right)t+3m-1=0\ \left( * \right)$.
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm t phân biệt:
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{\left( m+2 \right)}^{2}}-4\left( 3m-1 \right)>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m+4-12m+4>0 \\
& \Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+8>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>4+2\sqrt{2} \\
& m<4-2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Với $\left[ \begin{aligned}
& m>4+2\sqrt{2} \\
& m<4-2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right. $ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm $ {{x}_{1}};{{x}_{2}} $ với $ {{x}_{1}}={{3}^{{{t}_{1}}}},\ {{x}_{2}}={{3}^{{{t}_{2}}}} $, với $ {{t}_{1}};{{t}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*).
Áp dụng hệ thức Vi-ét với phương trình (*) ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=m+2 \\
& {{t}_{1}}{{t}_{2}}=3m-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Theo đề bài ta có ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=27\Leftrightarrow {{3}^{{{t}_{1}}}}{{.3}^{{{t}_{2}}}}={{3}^{{{t}_{1}}{{t}_{2}}}}=27\Leftrightarrow {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=3\Leftrightarrow m+2=3\Leftrightarrow m=1\left( TM \right)$.
Với $m=1\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=1 \\
& {{t}_{2}}=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}={{3}^{1}}=3 \\
& {{x}_{2}}={{3}^{2}}=9 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3+9=12.$