Biết rằng phương trình $\log _{2}^{2}\left( 2x \right)-5{{\log...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Biết rằng phương trình

\log_{2}^{2} (2 x) - 5 \log_{2} x = 0

có hai nghiệm phân biệt

x_{1}

và

x_{2}

. Tính

x_{1} . x_{2}

.
A. 1.
B. 5.
C. 3.
D. 8.

Điều kiện:

x > 0

.
Phương trình tương đương với:

{(\log_{2} 2 + \log_{2} x)}^{2} - 5 \log_{2} x = 0

{(1 + \log_{2} x)}^{2} - 5 \log_{2} x = 0 \Leftrightarrow \log_{2}^{2} x - 3 \log_{2} x + 1 = 0

.
Cách 1: Phương trình

\log_{2}^{2} x - 3 \log_{2} x + 1 = 0

có hai nghiệm phân biệt

x_{1}

và

x_{2}

.
Ta có:

\log_{2} (x_{1} . x_{2}) = \log_{2} x_{1} + \log_{2} x_{2}

.
Theo định lí Vi-et, ta có:

\log_{2} x_{1} + \log_{2} x_{2} = \frac{- (- 3)}{1} = 3 \Rightarrow \log_{2} (x_{1} . x_{2}) = 3 \Rightarrow x_{1} . x_{2} = 8

Cách 2:
Ta có

\log_{2}^{2} x - 3 \log_{2} x + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} \log_{2} x_{1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \\ \log_{2} x_{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} x_{1} = 2^{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}} \\ x_{2} = 2^{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} \end{aligned}

.
Vậy

x_{1} . x_{2} = 2^{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}} {.2}^{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} = 8

.

Đáp án D.