Biết rằng phương trình $\log _{2}^{2}\left( 2x \right)-5{{\log...

Điều kiện: $x>0$.
Phương trình tương đương với: ${{\left( {{\log }_{2}}2+{{\log }_{2}}x \right)}^{2}}-5{{\log }_{2}}x=0$
${{\left( 1+{{\log }_{2}}x \right)}^{2}}-5{{\log }_{2}}x=0\Leftrightarrow \log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x+1=0$.
Cách 1: Phương trình $\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x+1=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}$ và ${{x}_{2}}$.
Ta có: ${{\log }_{2}}\left( {{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right)={{\log }_{2}}{{x}_{1}}+{{\log }_{2}}{{x}_{2}}$.
Theo định lí Vi-et, ta có: ${{\log }_{2}}{{x}_{1}}+{{\log }_{2}}{{x}_{2}}=\dfrac{-\left( -3 \right)}{1}=3\Rightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right)=3\Rightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=8$
Cách 2:
Ta có $\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}{{x}_{1}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \\
& {{\log }_{2}}{{x}_{2}}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}={{2}^{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}} \\
& {{x}_{2}}={{2}^{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}}} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{2}^{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}}{{.2}^{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}}}=8$.