Google
Câu hỏi: Biết rằng $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{dx}{3x+5\sqrt{3x+1}+7}}=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5,$ với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a+b+c bằng
A. $-\dfrac{10}{3}.$
B. $-\dfrac{5}{3}.$
C. $\dfrac{10}{3}.$
D. $\dfrac{5}{3}.$
A. $-\dfrac{10}{3}.$
B. $-\dfrac{5}{3}.$
C. $\dfrac{10}{3}.$
D. $\dfrac{5}{3}.$
Đặt $t=\sqrt{3x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=3x+1;2tdt=3xdx$
Thực hiện đổi cận có $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{\dfrac{2}{3}tdt}{3.\dfrac{{{t}^{2}}-1}{3}+5t+7}}=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{tdt}{{{t}^{2}}+5t+6}}=\int\limits_{1}^{2}{\left( \dfrac{3}{t+3}-\dfrac{2}{t+2} \right)}dt=\left. \!\![\!\!3\ln \left| t+2 \right|-2\ln \left| t+2 \right|\!\!]\!\! \right|_{1}^{2}$
Khi đó $I=-\dfrac{20}{3}\ln 2+\dfrac{4}{3}\ln 3+2\ln 5\Rightarrow a+b+c=-\dfrac{10}{3}.$
Thực hiện đổi cận có $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{\dfrac{2}{3}tdt}{3.\dfrac{{{t}^{2}}-1}{3}+5t+7}}=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{tdt}{{{t}^{2}}+5t+6}}=\int\limits_{1}^{2}{\left( \dfrac{3}{t+3}-\dfrac{2}{t+2} \right)}dt=\left. \!\![\!\!3\ln \left| t+2 \right|-2\ln \left| t+2 \right|\!\!]\!\! \right|_{1}^{2}$
Khi đó $I=-\dfrac{20}{3}\ln 2+\dfrac{4}{3}\ln 3+2\ln 5\Rightarrow a+b+c=-\dfrac{10}{3}.$
Đáp án A.