Google
Câu hỏi: Biết rằng hàm số $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{{{\ln }^{2}}x+4}.\ln x}{x}$ và thỏa mãn $F\left( 1 \right)=\dfrac{8}{3}$. Giá trị của ${{\left[ F\left( e \right) \right]}^{2}}$ bằng:
A. $\dfrac{8}{3}.$
B. $\dfrac{125}{27}.$
C. $\dfrac{5\sqrt{5}}{27}.$
D. $\dfrac{125}{9}.$
A. $\dfrac{8}{3}.$
B. $\dfrac{125}{27}.$
C. $\dfrac{5\sqrt{5}}{27}.$
D. $\dfrac{125}{9}.$
Xét $\int{\dfrac{\sqrt{{{\ln }^{2}}x+4}.\ln x}{x}dx}$.
Đặt $t=\sqrt{{{\ln }^{2}}x+4}\Rightarrow {{t}^{2}}={{\ln }^{2}}x+4\Rightarrow tdt=\dfrac{\ln x}{x}dx$.
Khi đó $\int{\dfrac{\sqrt{{{\ln }^{2}}x+4}.\ln x}{x}dx}=\int{{{t}^{2}}dt}=\dfrac{{{t}^{3}}}{3}+C=\dfrac{{{\left( \sqrt{{{\ln }^{2}}x+4} \right)}^{3}}}{3}+C\Rightarrow F\left( x \right)=\dfrac{{{\left( \sqrt{{{\ln }^{2}}x+4} \right)}^{3}}}{3}+C$.
Theo giả thiết $F\left( 1 \right)=\dfrac{8}{3}\Leftrightarrow \dfrac{8}{3}+C=\dfrac{8}{3}\Leftrightarrow C=0$.
Suy ra $F\left( x \right)=\dfrac{{{\left( \sqrt{{{\ln }^{2}}x+4} \right)}^{3}}}{3}\Rightarrow {{\left[ F\left( e \right) \right]}^{2}}=\dfrac{125}{9}$.
Đặt $t=\sqrt{{{\ln }^{2}}x+4}\Rightarrow {{t}^{2}}={{\ln }^{2}}x+4\Rightarrow tdt=\dfrac{\ln x}{x}dx$.
Khi đó $\int{\dfrac{\sqrt{{{\ln }^{2}}x+4}.\ln x}{x}dx}=\int{{{t}^{2}}dt}=\dfrac{{{t}^{3}}}{3}+C=\dfrac{{{\left( \sqrt{{{\ln }^{2}}x+4} \right)}^{3}}}{3}+C\Rightarrow F\left( x \right)=\dfrac{{{\left( \sqrt{{{\ln }^{2}}x+4} \right)}^{3}}}{3}+C$.
Theo giả thiết $F\left( 1 \right)=\dfrac{8}{3}\Leftrightarrow \dfrac{8}{3}+C=\dfrac{8}{3}\Leftrightarrow C=0$.
Suy ra $F\left( x \right)=\dfrac{{{\left( \sqrt{{{\ln }^{2}}x+4} \right)}^{3}}}{3}\Rightarrow {{\left[ F\left( e \right) \right]}^{2}}=\dfrac{125}{9}$.
Đáp án D.