Google
Câu hỏi: Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=m\text{x}+\dfrac{36}{x+1}$ trên $\left[ 0;3 \right]$ bằng 20. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $0<m\le 2$
B. $4<m\le 8$
C. $2<m\le 4$
D. $m>8$
A. $0<m\le 2$
B. $4<m\le 8$
C. $2<m\le 4$
D. $m>8$
Ta có: $y=m\text{x}+\dfrac{36}{x+1}\Rightarrow {y}'=m-\dfrac{36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$.
Ta có: $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} y=20$ nên $y(3)\ge 20\Leftrightarrow 3m+\dfrac{36}{3+1}\ge 20\Leftrightarrow m\ge \dfrac{11}{3}$. Với $m\ge \dfrac{11}{3}$.
Ta có: ${y}'=0\Leftrightarrow m-\dfrac{36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}=\dfrac{36}{m}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{6}{\sqrt{m}}-1<3 \\
& x=-\dfrac{6}{\sqrt{m}}-1(l) \\
\end{aligned} \right.$
TH1: $\dfrac{6}{\sqrt{m}}-1<0\Leftrightarrow m>36$. Suy ra: $\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} y=y(0)=36$ (vô lí).
TH2: $m\ge \dfrac{11}{3}\wedge \dfrac{6}{\sqrt{m}}-1\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{11}{3}\le m\le 36$.
Suy ra: $\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( \dfrac{6}{\sqrt{m}}-1 \right)=12\sqrt{m}-m=20\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4 \\
& m=100(l) \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ m=4$.
Ta có: $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} y=20$ nên $y(3)\ge 20\Leftrightarrow 3m+\dfrac{36}{3+1}\ge 20\Leftrightarrow m\ge \dfrac{11}{3}$. Với $m\ge \dfrac{11}{3}$.
Ta có: ${y}'=0\Leftrightarrow m-\dfrac{36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}=\dfrac{36}{m}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{6}{\sqrt{m}}-1<3 \\
& x=-\dfrac{6}{\sqrt{m}}-1(l) \\
\end{aligned} \right.$
TH1: $\dfrac{6}{\sqrt{m}}-1<0\Leftrightarrow m>36$. Suy ra: $\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} y=y(0)=36$ (vô lí).
TH2: $m\ge \dfrac{11}{3}\wedge \dfrac{6}{\sqrt{m}}-1\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{11}{3}\le m\le 36$.
Suy ra: $\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( \dfrac{6}{\sqrt{m}}-1 \right)=12\sqrt{m}-m=20\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=4 \\
& m=100(l) \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ m=4$.
Đáp án C.