Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=mx+\dfrac{36}{x+1}$ trên...

Ta có $y'=m-\dfrac{36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.$
* Với $m\le 0,$ hàm số nghịch biến trên $\left[ 0;3 \right]$ nên $\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 3 \right)=3m+9$
Suy ra $3m+9=20\Leftrightarrow m=\dfrac{11}{3}$ (không thỏa mãn)
* Với $m>0,$ ta có: $y'=\dfrac{m{{\left( x+1 \right)}^{2}}-36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.$
$y^{\prime}=0 \Leftrightarrow x+1=\pm \dfrac{6}{\sqrt{m}} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1+\dfrac{6}{\sqrt{m}} \\ x=-1-\dfrac{6}{\sqrt{m}}(L)\end{array}\right.$
- Khi $0\le -1+\dfrac{6}{\sqrt{m}}\le 3\Leftrightarrow \dfrac{9}{4}\le m\le 36,$ ta có bảng biến thiên của hàm số:
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra
$\min _{x \in[0 ; 3]} y=y\left(-1+\dfrac{6}{\sqrt{m}}\right)=-m+12 \sqrt{m}=20 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=4 \\ m=100(L)\end{array}\right.$
- Khi $-1+\dfrac{6}{\sqrt{m}}>3\Leftrightarrow m<\dfrac{9}{4},$ ta có bảng biến thiên của hàm số:
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra $\underset{x\in \left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 3 \right)=3m+9=20\Leftrightarrow m=\dfrac{11}{9}$ (loại).
Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 20 khi $m=4.$