Google
Câu hỏi: Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=mx+\dfrac{36}{x+1}$ trên $\left[ 0; 3 \right]$ bằng 20. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $4<m\le 8$
B. $0<m\le 2$
C. $2<m\le 4$
D. $m>8$
A. $4<m\le 8$
B. $0<m\le 2$
C. $2<m\le 4$
D. $m>8$
Ta có ${y}'=m-\dfrac{36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$ và $y\left( 0 \right)=36; y\left( 3 \right)=3m+9$
TH1: Hàm số nghịch biến trên đoạn $\left[ 0; 3 \right]$
Suy ra $m\le \dfrac{9}{4}$ và $\underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\min }} y\left( 3 \right)=3m+9=20\Rightarrow m\in \varnothing $
TH2: Phương trình ${y}'=m-\dfrac{36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\xrightarrow{m>0}x=-1+\dfrac{6}{\sqrt{m}}$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 20 $\Rightarrow y\left( -1+\dfrac{6}{\sqrt{m}} \right)=20$
$\Leftrightarrow m.\left( -1+\dfrac{6}{\sqrt{m}} \right)+\dfrac{36}{-1+\dfrac{6}{\sqrt{m}}+1}=20\Leftrightarrow -m+12\sqrt{m}-20=0$
Suy ra $m=4; m=100$ (loại). Vậy $m=4$ là giá trị cần tìm.
TH1: Hàm số nghịch biến trên đoạn $\left[ 0; 3 \right]$
Suy ra $m\le \dfrac{9}{4}$ và $\underset{\left[ 0; 3 \right]}{\mathop{\min }} y\left( 3 \right)=3m+9=20\Rightarrow m\in \varnothing $
TH2: Phương trình ${y}'=m-\dfrac{36}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\xrightarrow{m>0}x=-1+\dfrac{6}{\sqrt{m}}$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 20 $\Rightarrow y\left( -1+\dfrac{6}{\sqrt{m}} \right)=20$
$\Leftrightarrow m.\left( -1+\dfrac{6}{\sqrt{m}} \right)+\dfrac{36}{-1+\dfrac{6}{\sqrt{m}}+1}=20\Leftrightarrow -m+12\sqrt{m}-20=0$
Suy ra $m=4; m=100$ (loại). Vậy $m=4$ là giá trị cần tìm.
Đáp án C.
