Google
Câu hỏi: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y=\dfrac{\cos x+m}{2-\cos x}$ trên đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2} \right]$ bằng 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\left| m \right|>2.$
B. $\left| m \right|=1.$
C. $1<\left| m \right|\le 2.$
D. $\left| m \right|<1.$
A. $\left| m \right|>2.$
B. $\left| m \right|=1.$
C. $1<\left| m \right|\le 2.$
D. $\left| m \right|<1.$
Đặt $t=\cos x,x\in \left[ -\dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2} \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;1 \right].$
Xét hàm số $y=\dfrac{t+m}{2-t}$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$
Ta có: $y'=\dfrac{2+m}{{{\left( 2-t \right)}^{2}}}.$
Nếu $2+m>0\Leftrightarrow m>-2$ thì $y'>0,$ hàm số đồng biến trên $\left[ 0;1 \right],$ suy ra:
$\underset{\left[ 0;\dfrac{1}{2} \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=f\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( 1 \right)=1\Leftrightarrow \dfrac{1+m}{1}=1\Leftrightarrow m=0.$
Nếu $2+m<0\Leftrightarrow m<-2$ thì $y'<0,$ hàm số nghịch biến trên $\left[ 0;1 \right],$ suy ra:
$\underset{\left[ 0;\dfrac{1}{2} \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=f\left( 0 \right)\Leftrightarrow f\left( 0 \right)=1\Leftrightarrow \dfrac{m}{2}=1\Leftrightarrow m=2$ (không thỏa mãn).
Vậy $m=0\Rightarrow \left| m \right|<1.$
Xét hàm số $y=\dfrac{t+m}{2-t}$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$
Ta có: $y'=\dfrac{2+m}{{{\left( 2-t \right)}^{2}}}.$
Nếu $2+m>0\Leftrightarrow m>-2$ thì $y'>0,$ hàm số đồng biến trên $\left[ 0;1 \right],$ suy ra:
$\underset{\left[ 0;\dfrac{1}{2} \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=f\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( 1 \right)=1\Leftrightarrow \dfrac{1+m}{1}=1\Leftrightarrow m=0.$
Nếu $2+m<0\Leftrightarrow m<-2$ thì $y'<0,$ hàm số nghịch biến trên $\left[ 0;1 \right],$ suy ra:
$\underset{\left[ 0;\dfrac{1}{2} \right]}{\mathop{\max }} f\left( t \right)=f\left( 0 \right)\Leftrightarrow f\left( 0 \right)=1\Leftrightarrow \dfrac{m}{2}=1\Leftrightarrow m=2$ (không thỏa mãn).
Vậy $m=0\Rightarrow \left| m \right|<1.$
Đáp án D.