Google
Câu hỏi: Biết rằng $F\left( x \right)=\int{\tan xdx}$ và $F\left( 0 \right)=3F\left( \pi \right)=6.$ Khi đó giá trị của biểu thức $F\left( \dfrac{\pi }{3} \right)+F\left( \dfrac{4\pi }{3} \right)$ tương ứng bằng
A. $8+2\ln 2.$
B. 8.
C. $4+4\ln 2.$
D. $6-2\ln 2.$
A. $8+2\ln 2.$
B. 8.
C. $4+4\ln 2.$
D. $6-2\ln 2.$
Ta có: $F\left( x \right)=\int{\tan xdx}=\int{\dfrac{\sin xdx}{\cos x}=-\ln \left| \cos x \right|+C}$ xác định trên 2 miền
+ Miền thứ nhất $\dfrac{\pi }{2}+k2\pi <x<\dfrac{3\pi }{2}+k2\pi ,$ ta có:
$3F\left( \pi \right)=3\left( -\ln \left| \cos \pi \right|+C \right)=6\Leftrightarrow C=2\to F\left( x \right)=-\ln \left| \cos x \right|+2$
$\Rightarrow F\left( \dfrac{4\pi }{3} \right)=-\ln \left| \cos \dfrac{4\pi }{3} \right|+2=2+\ln 2$
+ Miền thứ hai $-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi <x<\dfrac{\pi }{2}+k2\pi $, ta có:
$F\left( 0 \right)=-\ln \left| \cos 0 \right|+C=6\Leftrightarrow C=6\to F\left( x \right)=-\ln \left| \cos x \right|+6$
$\Rightarrow F\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=-\ln \left| \cos \dfrac{\pi }{3} \right|+6=6+\ln 2$
Do đó: $F\left( \dfrac{4\pi }{3} \right)+F\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=2\ln 2+8.$
+ Miền thứ nhất $\dfrac{\pi }{2}+k2\pi <x<\dfrac{3\pi }{2}+k2\pi ,$ ta có:
$3F\left( \pi \right)=3\left( -\ln \left| \cos \pi \right|+C \right)=6\Leftrightarrow C=2\to F\left( x \right)=-\ln \left| \cos x \right|+2$
$\Rightarrow F\left( \dfrac{4\pi }{3} \right)=-\ln \left| \cos \dfrac{4\pi }{3} \right|+2=2+\ln 2$
+ Miền thứ hai $-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi <x<\dfrac{\pi }{2}+k2\pi $, ta có:
$F\left( 0 \right)=-\ln \left| \cos 0 \right|+C=6\Leftrightarrow C=6\to F\left( x \right)=-\ln \left| \cos x \right|+6$
$\Rightarrow F\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=-\ln \left| \cos \dfrac{\pi }{3} \right|+6=6+\ln 2$
Do đó: $F\left( \dfrac{4\pi }{3} \right)+F\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=2\ln 2+8.$
Đáp án A.