Biết rằng đường thẳng $d:y=-2x+m$ cắt đồ thị $\left( C...

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và $\left( C \right)$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x\ne 1 \\
& 2{{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x+m+1=0\ \left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Để d cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt khi (*) có hai nghiệm phân biệt $x\ne 1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>5+4\sqrt{2} \\
& m<5-4\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Gọi $A\left( {{x}_{1}};-2{{x}_{1}}+m \right), B\left( {{x}_{2}};-2{{x}_{2}}+m \right)$. Ta có ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{m-1}{2}$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{G}}=\dfrac{0+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{3}=\dfrac{m-1}{6} \\
& {{y}_{G}}=\dfrac{0+\left( -2{{x}_{1}}+m \right)-\left( 2{{x}_{2}}+m \right)}{3}=\dfrac{m+1}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Vì $G\in \left( C \right)$ nên $\dfrac{m+1}{3}=\dfrac{3.\dfrac{m-1}{6}+1}{\dfrac{m-1}{6}-1}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& m=16 \\
\end{aligned} \right.$ (thỏa mãn ĐK).