Biết rằng đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-\left( 2a+1...

The Knowledge · 14/12/21

Câu hỏi: Biết rằng đồ thị hàm số

y = x^{3} - (2 a + 1) x^{2} + (2 a^{2} + 2 a) x + b

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương

x_{1}, x_{2}, x_{3}

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x_{1}^{2} x_{2}^{3} x_{3}^{4}

.
A.

min P = \frac{8 \sqrt{3}}{729}

.
B.

min P = \frac{64 \sqrt{2}}{6561}

.
C.

min P = \frac{32 \sqrt{3}}{6561}

.
D.

min P = \frac{2 \sqrt{2}}{729}

.

Ta có

{\begin{aligned} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2 a + 1 \\ x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1} = 2 a^{2} + 2 a \end{aligned} \Rightarrow {(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2} - 2 (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1}) = 1

.
Do vậy:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1

. Xét các số thực dương

p, q, r

sao cho đẳng thức xảy ra khi

x_{1} = p

,

x_{2} = q

,

x_{3} = r

.
Áp dụng AM – GM:

\frac{2 x_{1}}{p} + \frac{3 x_{2}}{q} + \frac{4 x_{3}}{r} = \frac{x_{1}}{p} + \frac{x_{1}}{p} + \frac{x_{2}}{q} + \frac{x_{2}}{q} + \frac{x_{2}}{q} + \frac{x_{3}}{r} + \frac{x_{3}}{r} + \frac{x_{3}}{r} + \frac{x_{3}}{r} \geq 9 \sqrt[9]{\frac{x_{1}^{2} x_{2}^{3} x_{3}^{4}}{p^{2} q^{3} r^{4}}}

.
Lại có:

{(\frac{2 x_{1}}{p} + \frac{3 x_{2}}{q} + \frac{4 x_{3}}{r})}^{2} \leq (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) (\frac{4}{p^{2}} + \frac{9}{q^{2}} + \frac{16}{r^{2}}) = \frac{4}{p^{2}} + \frac{9}{q^{2}} + \frac{16}{r^{2}}

.
Khi đó ta có đẳng thức xảy ra khi:

x_{1} : x_{2} : x_{3} = \frac{2}{p} : \frac{3}{q} : \frac{4}{r} \Leftrightarrow \frac{p x_{1}}{2} = \frac{q x_{2}}{3} = \frac{r x_{3}}{4} \Leftrightarrow \frac{p^{2}}{2} = \frac{q^{2}}{3} = \frac{r^{2}}{4}

.
Mà

p^{2} + q^{2} + r^{2} = 1

nên

p = \frac{\sqrt{2}}{3}; q = \frac{\sqrt{3}}{3}; r = \frac{2}{3}

do đó:

\frac{2 x_{1}}{p} + \frac{3 x_{2}}{q} + \frac{4 x_{3}}{r} \leq 9

nên

\sqrt[9]{\frac{x_{1}^{2} x_{2}^{3} x_{3}^{4}}{p^{2} q^{3} r^{4}}} \leq 1

.
Vậy:

x_{1}^{2} x_{2}^{3} x_{3}^{4} \leq p^{2} q^{3} r^{4} = \frac{32 \sqrt{3}}{6561}

nên

min P = \frac{32 \sqrt{3}}{6561}

.

Đáp án C.