Google
Câu hỏi: Biết rằng đồ thị hàm số $y=\left( 3{{a}^{2}}-1 \right){{x}^{3}}-\left( {{b}^{3}}+1 \right){{x}^{2}}+3{{c}^{2}}x+4d$ có hai điểm cực trị là $\left( 1;-7 \right)$, $\left( 2;-8 \right)$. Hãy xác định tổng $M={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}$.
A. $-18$.
B. 18.
C. 15.
D. 8.
A. $-18$.
B. 18.
C. 15.
D. 8.
Tính y':
Từ giả thiết ta suy ra các điểm có tọa độ $\left( 1;-7 \right), \left( 2;-8 \right)$ thuộc đồ thị hàm số đã cho và $x=1;x=2$ là hai điểm cực trị của hàm số
Từ đó đưa về giải hệ bốn phương trình bốn ẩn để tìm a; b; c; d.
Ta có ${y}'=3\left( 3{{a}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}-2\left( {{b}^{3}}+1 \right)x+3{{c}^{2}}$
Từ giả thiết ta suy ra các điểm có tọa độ $\left( 1;-7 \right), \left( 2;-8 \right)$ thuộc đồ thị hàm số đã cho và $x=1;x=2$ là hai điểm cực trị của hàm số nên ta có hệ phương sau:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( 3{{a}^{2}}-1 \right).8-\left( {{b}^{3}}+1 \right).4+6{{c}^{2}}+4d=-8 \\
& \left( 3{{a}^{2}}-1 \right).1-\left( {{b}^{3}}+1 \right).1+3{{c}^{2}}+4d=-7 \\
& 3.\left( 3{{a}^{2}}-1 \right){{.1}^{2}}-2.\left( {{b}^{3}}+1 \right)3{{c}^{2}}=0 \\
& 3.\left( 3{{a}^{2}}-1 \right){{.2}^{2}}-2.2.\left( {{b}^{3}}+1 \right)+3{{c}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $A=3{{a}^{2}}-1$ ; $B={{b}^{3}}+1$ ; $C=3{{c}^{2}}$ ; $D=4d$ ta được hệ mới:
$\left\{ \begin{aligned}
& 8A-4B+2C+D=-8 \\
& A-B+C+D=-7 \\
& 3A-2B+C=0 \\
& 12A-4B+C=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 8A-4B+2C+D=-8 \\
& 7A-3B+C=-1 \\
& 3A-2B+C=0 \\
& 12A-4B+C=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A=2 \\
& B=9 \\
& C=12 \\
& D=-12 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3{{a}^{2}}-1=2 \\
& {{b}^{3}}+1=9 \\
& 3{{c}^{2}}=12 \\
& 4d=-12 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=1 \\
& {{b}^{2}}=4 \\
& {{c}^{2}}=4 \\
& {{d}^{2}}=9 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}=18$
Từ giả thiết ta suy ra các điểm có tọa độ $\left( 1;-7 \right), \left( 2;-8 \right)$ thuộc đồ thị hàm số đã cho và $x=1;x=2$ là hai điểm cực trị của hàm số
Từ đó đưa về giải hệ bốn phương trình bốn ẩn để tìm a; b; c; d.
Ta có ${y}'=3\left( 3{{a}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}-2\left( {{b}^{3}}+1 \right)x+3{{c}^{2}}$
Từ giả thiết ta suy ra các điểm có tọa độ $\left( 1;-7 \right), \left( 2;-8 \right)$ thuộc đồ thị hàm số đã cho và $x=1;x=2$ là hai điểm cực trị của hàm số nên ta có hệ phương sau:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( 3{{a}^{2}}-1 \right).8-\left( {{b}^{3}}+1 \right).4+6{{c}^{2}}+4d=-8 \\
& \left( 3{{a}^{2}}-1 \right).1-\left( {{b}^{3}}+1 \right).1+3{{c}^{2}}+4d=-7 \\
& 3.\left( 3{{a}^{2}}-1 \right){{.1}^{2}}-2.\left( {{b}^{3}}+1 \right)3{{c}^{2}}=0 \\
& 3.\left( 3{{a}^{2}}-1 \right){{.2}^{2}}-2.2.\left( {{b}^{3}}+1 \right)+3{{c}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $A=3{{a}^{2}}-1$ ; $B={{b}^{3}}+1$ ; $C=3{{c}^{2}}$ ; $D=4d$ ta được hệ mới:
$\left\{ \begin{aligned}
& 8A-4B+2C+D=-8 \\
& A-B+C+D=-7 \\
& 3A-2B+C=0 \\
& 12A-4B+C=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 8A-4B+2C+D=-8 \\
& 7A-3B+C=-1 \\
& 3A-2B+C=0 \\
& 12A-4B+C=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A=2 \\
& B=9 \\
& C=12 \\
& D=-12 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3{{a}^{2}}-1=2 \\
& {{b}^{3}}+1=9 \\
& 3{{c}^{2}}=12 \\
& 4d=-12 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}=1 \\
& {{b}^{2}}=4 \\
& {{c}^{2}}=4 \\
& {{d}^{2}}=9 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow M={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}=18$
Đáp án B.