Google
Câu hỏi: Biết rằng có $n$ cặp số dương $\left( x;y \right)$ ( với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ ) để $x; {{x}^{\log x}};{{y}^{\log y}}; x{{y}^{\log \left( xy \right)}}$ tạo thành một cấp số nhân. Giá trị gần nhất của biểu thức $\dfrac{\sum\limits_{k=1}^{n}{{{x}_{n}}}}{\sum\limits_{k=1}^{n}{{{y}_{n}}}}$ nằm trong khoảng nào sau đây?
A. $\left( 3,4;3,5 \right)$.
B. $\left( 3,6;3,7 \right)$.
C. $\left( 3,7;3,8 \right)$.
D. $\left( 3,9;4 \right)$.
A. $\left( 3,4;3,5 \right)$.
B. $\left( 3,6;3,7 \right)$.
C. $\left( 3,7;3,8 \right)$.
D. $\left( 3,9;4 \right)$.
Tính chất: $a,b,c,d$ lập thành một cấp số nhân thì $\log a;\log b;\log c;\log d$ sẽ tạo thành một cấp số cộng.
Áp dụng vào suy ra: $\log x;\log \left( {{x}^{\log x}} \right);\log \left( {{y}^{\log y}} \right);\log \left( x{{y}^{\log \left( xy \right)}} \right)$ lập thành một cấp số cộng
$\log x;{{\left( \log x \right)}^{2}};{{\left( \log y \right)}^{2}};{{\left( \log \left( xy \right) \right)}^{2}}$ tạo thành 1 cấp số cộng
Suy ra: ${{\left( \log \left( xy \right) \right)}^{2}}-{{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}}={{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}}-{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left( \log \left( xy \right)-\log \left( y \right) \right)\left( \log \left( xy \right)+\log \left( y \right) \right)={{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}}-{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}$
$\Rightarrow {{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}}-2\log \left( x \right)\log \left( y \right)-2{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}=0$ (1)
Mặt khác:
${{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}}-{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}={{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}-\log \left( x \right)\Rightarrow {{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}}-2{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}+\log \left( x \right)=0$ (2)
$\left( 2 \right)-\left( 1 \right)\Rightarrow 2\log \left( y \right)\log \left( x \right)+\log \left( x \right)=0$
$\Leftrightarrow \log \left( x \right)\left[ 2\log \left( x \right)+1 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
y=\dfrac{1}{\sqrt{10}} \\
\end{matrix} \right.$
TH1: $x=1$ thì $\log \left( y \right)=0\Rightarrow y=1\Rightarrow \left( x;y \right)=\left( 1;1 \right)=\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$
TH2: $y=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ thì $2{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}-\log \left( x \right)-\dfrac{1}{4}=0$
$\Leftrightarrow \log \left( x \right)=\dfrac{1\pm \sqrt{3}}{4}\Rightarrow x={{10}^{\dfrac{1\pm \sqrt{3}}{4}}}$
$\Rightarrow \left( x;y \right)=\left( {{10}^{\dfrac{1+\sqrt{3}}{4}}};\dfrac{1}{\sqrt{10}} \right)=\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ và $\left( x;y \right)=\left( {{10}^{\dfrac{1-\sqrt{3}}{4}}};\dfrac{1}{\sqrt{10}} \right)=\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}} \right)$
$\Rightarrow S\approx 3,96687...\in \left( 3,9;4 \right)$
Áp dụng vào suy ra: $\log x;\log \left( {{x}^{\log x}} \right);\log \left( {{y}^{\log y}} \right);\log \left( x{{y}^{\log \left( xy \right)}} \right)$ lập thành một cấp số cộng
$\log x;{{\left( \log x \right)}^{2}};{{\left( \log y \right)}^{2}};{{\left( \log \left( xy \right) \right)}^{2}}$ tạo thành 1 cấp số cộng
Suy ra: ${{\left( \log \left( xy \right) \right)}^{2}}-{{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}}={{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}}-{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left( \log \left( xy \right)-\log \left( y \right) \right)\left( \log \left( xy \right)+\log \left( y \right) \right)={{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}}-{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}$
$\Rightarrow {{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}}-2\log \left( x \right)\log \left( y \right)-2{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}=0$ (1)
Mặt khác:
${{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}}-{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}={{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}-\log \left( x \right)\Rightarrow {{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}}-2{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}+\log \left( x \right)=0$ (2)
$\left( 2 \right)-\left( 1 \right)\Rightarrow 2\log \left( y \right)\log \left( x \right)+\log \left( x \right)=0$
$\Leftrightarrow \log \left( x \right)\left[ 2\log \left( x \right)+1 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=1 \\
y=\dfrac{1}{\sqrt{10}} \\
\end{matrix} \right.$
TH1: $x=1$ thì $\log \left( y \right)=0\Rightarrow y=1\Rightarrow \left( x;y \right)=\left( 1;1 \right)=\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$
TH2: $y=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ thì $2{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}-\log \left( x \right)-\dfrac{1}{4}=0$
$\Leftrightarrow \log \left( x \right)=\dfrac{1\pm \sqrt{3}}{4}\Rightarrow x={{10}^{\dfrac{1\pm \sqrt{3}}{4}}}$
$\Rightarrow \left( x;y \right)=\left( {{10}^{\dfrac{1+\sqrt{3}}{4}}};\dfrac{1}{\sqrt{10}} \right)=\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ và $\left( x;y \right)=\left( {{10}^{\dfrac{1-\sqrt{3}}{4}}};\dfrac{1}{\sqrt{10}} \right)=\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}} \right)$
$\Rightarrow S\approx 3,96687...\in \left( 3,9;4 \right)$
Đáp án D.