Biết rằng có $n$ cặp số dương $(x;y)$ ( với $n\in...

Tính chất: $a,b,c,d$ lập thành một cấp số nhân thì $\log a;\log b;\log c;\log d$ sẽ tạo thành một cấp số cộng.
Áp dụng vào suy ra: $\log x;\log \left(x^{\log x}\right);\log \left(y^{\log y}\right);\log \left(x{y}^{\log \left(xy\right)}\right)$ lập thành một cấp số cộng
$\log x;{(\log x)}^2;{(\log y)}^2;{(\log \left(xy\right))}^2$ tạo thành 1 cấp số cộng
Suy ra: ${(\log \left(xy\right))}^2-{(\log \left(y\right))}^2={(\log \left(y\right))}^2-{(\log \left(x\right))}^2$
$\iff (\log \left(xy\right)-\log \left(y\right))(\log \left(xy\right)+\log \left(y\right))={(\log \left(y\right))}^2-{(\log \left(x\right))}^2$
$\Rightarrow {(\log \left(y\right))}^2-2\log \left(x\right)\log \left(y\right)-2{(\log \left(x\right))}^2=0$ (1)
Mặt khác:
${(\log \left(y\right))}^2-{(\log \left(x\right))}^2={(\log \left(x\right))}^2-\log \left(x\right)\Rightarrow {(\log \left(y\right))}^2-2{(\log \left(x\right))}^2+\log \left(x\right)=0$ (2)
$\left(2\right)-\left(1\right)\Rightarrow 2\log \left(y\right)\log \left(x\right)+\log \left(x\right)=0$
$\iff \log \left(x\right)[2\log \left(x\right)+1]=0\iff [\begin{array}{c}x=1\\ y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}\end{array}$
TH1: $x=1$ thì $\log \left(y\right)=0\Rightarrow y=1\Rightarrow (x;y)=(1;1)=(x_1;y_1)$
TH2: $y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}}$ thì $2{(\log \left(x\right))}^2-\log \left(x\right)-{\displaystyle \frac{1}{4}}=0$
$\iff \log \left(x\right)={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{3}}{4}}\Rightarrow x={10}^{{\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{3}}{4}}}$
$\Rightarrow (x;y)=({10}^{{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{4}}};{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}})=(x_2;y_2)$ và $(x;y)=({10}^{{\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{4}}};{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}})=(x_3;y_3)$
$\Rightarrow S\approx 3,96687...\in (3,9;4)$