Google
Câu hỏi: Biết rằng bất phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}+2 \right)+2.{{\log }_{\left( {{5}^{x}}+2 \right)}}2>3$ có tập nghiệm là $S=\left( {{\log }_{a}}b;+\infty \right)$, với a, b là các số nguyên dương nhỏ hơn 6 và $a\ne 1$. Tính $P=2a+3b$.
A. $P=16$.
B. $P=7$.
C. $P=11$.
D. $P=18$.
A. $P=16$.
B. $P=7$.
C. $P=11$.
D. $P=18$.
Ta có ${{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}+2 \right)+2.{{\log }_{\left( {{5}^{x}}+2 \right)}}2>3\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}+2 \right)+2.\dfrac{1}{{{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}+2 \right)}>3\left( * \right)$.
Đặt $t={{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}+2 \right)>1$. Khi đó (*) trở thành $t+\dfrac{2}{t}>3\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t+2>0\Leftrightarrow t>2$ (do $t>1$ ).
Với $t>2$ thì ${{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}+2 \right)>2={{\log }_{2}}{{2}^{2}}\Leftrightarrow {{5}^{x}}>2\Leftrightarrow x>{{\log }_{5}}2$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=5 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P=2a+3b=16$.
Đặt $t={{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}+2 \right)>1$. Khi đó (*) trở thành $t+\dfrac{2}{t}>3\Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t+2>0\Leftrightarrow t>2$ (do $t>1$ ).
Với $t>2$ thì ${{\log }_{2}}\left( {{5}^{x}}+2 \right)>2={{\log }_{2}}{{2}^{2}}\Leftrightarrow {{5}^{x}}>2\Leftrightarrow x>{{\log }_{5}}2$.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& a=5 \\
& b=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow P=2a+3b=16$.
Đáp án A.