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Câu hỏi: Biết rằng a là số thực dương sao cho bất đẳng thức ${{3}^{x}}+{{a}^{x}}\ge {{6}^{x}}+{{9}^{x}}$ đúng với mọi số thực x. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $a\in \left( 12;14 \right]$
B. $a\in \left( 10;12 \right]$
C. $a\in \left( 14;16 \right]$
D. $a\in \left( 16;18 \right]$
A. $a\in \left( 12;14 \right]$
B. $a\in \left( 10;12 \right]$
C. $a\in \left( 14;16 \right]$
D. $a\in \left( 16;18 \right]$
Ta có ${{3}^{x}}+{{a}^{x}}\ge {{6}^{x}}+{{9}^{x}}\Leftrightarrow {{a}^{x}}-{{18}^{x}}\ge {{9}^{x}}-{{3}^{x}}-{{18}^{x}}$
$\Leftrightarrow {{a}^{x}}-{{18}^{x}}\ge {{3}^{x}}\left( {{2}^{x}}-1 \right)-{{9}^{x}}\left( {{2}^{x}}-1 \right)\Leftrightarrow {{a}^{x}}-{{18}^{x}}\ge -{{3}^{x}}\left( {{2}^{x}}-1 \right)\left( {{3}^{x}}-1 \right)$ (*).
Ta thấy $\left( {{2}^{x}}-1 \right)\left( {{3}^{x}}-1 \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow -{{3}^{x}}\left( {{2}^{x}}-1 \right)\left( {{3}^{x}}-1 \right)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó, (*) đúng với mọi số thực $x\Leftrightarrow {{a}^{x}}-{{18}^{x}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{a}{18} \right)}^{x}}\ge 1,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \dfrac{a}{18}=1\Leftrightarrow a=18\in \left( 16;18 \right]$.
$\Leftrightarrow {{a}^{x}}-{{18}^{x}}\ge {{3}^{x}}\left( {{2}^{x}}-1 \right)-{{9}^{x}}\left( {{2}^{x}}-1 \right)\Leftrightarrow {{a}^{x}}-{{18}^{x}}\ge -{{3}^{x}}\left( {{2}^{x}}-1 \right)\left( {{3}^{x}}-1 \right)$ (*).
Ta thấy $\left( {{2}^{x}}-1 \right)\left( {{3}^{x}}-1 \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow -{{3}^{x}}\left( {{2}^{x}}-1 \right)\left( {{3}^{x}}-1 \right)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó, (*) đúng với mọi số thực $x\Leftrightarrow {{a}^{x}}-{{18}^{x}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{a}{18} \right)}^{x}}\ge 1,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \dfrac{a}{18}=1\Leftrightarrow a=18\in \left( 16;18 \right]$.
Đáp án D.