Google
Câu hỏi: Biết rằng a là số thực dương sao cho bất đẳng thức ${{3}^{x}}+{{a}^{x}}\ge {{6}^{x}}+{{9}^{x}}$ đúng với mọi số thực x. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $a\in \left( 10; 12 \right]$
B. $a\in \left( 16; 18 \right]$
C. $a\in \left( 14; 16 \right]$
D. $a\in \left( 12; 14 \right]$
A. $a\in \left( 10; 12 \right]$
B. $a\in \left( 16; 18 \right]$
C. $a\in \left( 14; 16 \right]$
D. $a\in \left( 12; 14 \right]$
Ta có ${{3}^{x}}+{{a}^{x}}\ge {{6}^{x}}+{{9}^{x}}\Leftrightarrow {{3}^{x}}+{{a}^{x}}-{{6}^{x}}-{{9}^{x}}\ge 0; \forall x\in R$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x}}+{{a}^{x}}-{{6}^{x}}-{{9}^{x}}$ trên R, có
${f}'\left( x \right)={{3}^{x}}.\ln 3+{{a}^{x}}.\ln a-{{6}^{x}}.\ln 6-{{9}^{x}}.\ln 9$
Để $f\left( x \right)\ge f\left( 0 \right); \forall x\in R\Leftrightarrow \underset{R}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=0=f\left( 0 \right)$
Hay ${f}'\left( 0 \right)=0\Leftrightarrow \ln 3+\ln a-\ln 6-\ln 9\Leftrightarrow a=18$
Ta thấy: $f\left( x \right)>\underset{R}{\mathop{\min }} f\left( x \right)$ nên để $f\left( x \right)\ge f\left( 0 \right) \forall x\in R$ thì $\Leftrightarrow \underset{R}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x}}+{{a}^{x}}-{{6}^{x}}-{{9}^{x}}$ trên R, có
${f}'\left( x \right)={{3}^{x}}.\ln 3+{{a}^{x}}.\ln a-{{6}^{x}}.\ln 6-{{9}^{x}}.\ln 9$
Để $f\left( x \right)\ge f\left( 0 \right); \forall x\in R\Leftrightarrow \underset{R}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=0=f\left( 0 \right)$
Hay ${f}'\left( 0 \right)=0\Leftrightarrow \ln 3+\ln a-\ln 6-\ln 9\Leftrightarrow a=18$
Note 13: Phương pháp chung
Công thức đạo hàm cơ bản ${{\left( {{a}^{x}} \right)}^{\prime }}={{a}^{x}}.\ln a$ Ta thấy: $f\left( x \right)>\underset{R}{\mathop{\min }} f\left( x \right)$ nên để $f\left( x \right)\ge f\left( 0 \right) \forall x\in R$ thì $\Leftrightarrow \underset{R}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( 0 \right)$.
Đáp án B.