Biết rằng ${{2}^{x+\dfrac{1}{x}}}={{\log }_{2}}\left[ 14-\left(...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Biết rằng

2^{x + \frac{1}{x}} = \log_{2} [14 - (y - 2) \sqrt{y + 1}]

trong đó

x > 0.

Tính giá trị của biểu thức

P = x^{2} + y^{2} - x y + 1.

A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 4.

Ta có

2^{x + \frac{1}{x}} \geq 2^{2} \Rightarrow \log_{2} [14 - (y - 2) \sqrt{y + 1}] \geq 4 \Rightarrow (y - 2) \sqrt{y + 1} \leq - 2.

Đặt

t = \sqrt{y + 1} \geq 0 \Rightarrow t (t^{2} - 3) \leq - 2 \Leftrightarrow (t - 1) (t^{2} + t - 2) \leq 0 \Leftrightarrow {(t - 1)}^{2} (t + 2) \leq 0 \Rightarrow t = 1

\Rightarrow \sqrt{y + 1} = 1 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow x = 1.

Đáp án C.