T

Biết phương trình...

Tác giả The Funny
Creation date 28/5/23
Tags

trắc nghiệm toán 12

Đăng kí nhanh tài khoản với

28/5/23

Câu hỏi: Biết phương trình

2022^{x} - 2022^{\sqrt{2 x + 1}} = 1 - x^{2} + 2 \sqrt{2 x + 1}

có một nghiệm dạng

x = a + \sqrt{b}

(trong đó

a, b

là các số nguyên). Tính

a + b^{3}

.
A.

3

.
B.

10

.
C.

7

.
D.

9

.

Ta có

\begin{aligned} 2022^{x} - 2022^{\sqrt{2 x + 1}} = 1 - x^{2} + 2 \sqrt{2 x + 1} \Leftrightarrow 2022^{x} + x^{2} + 2 x + 1 = 2 x + 2 + 2 \sqrt{2 x + 1} + 2022^{\sqrt{2 x + 1}} \\ \Leftrightarrow 2022^{x} + {(x + 1)}^{2} = {(\sqrt{2 x + 1} + 1)}^{2} + 2022^{\sqrt{2 x + 1}} . \end{aligned}

Xét hàm số

f (t) = 2022^{t} + {(t + 1)}^{2}

,

t \in [0; + \infty)

.
Ta có

f^{'} (t) = 2022^{t} \ln 2022 + 2 (t + 1) > 0, \forall t \in [0; + \infty)

nên hàm số

y = f (t)

đồng biến trên khoảng

[0; + \infty)

. Khi đó

f (x) = f (\sqrt{2 x + 1}) \Leftrightarrow x = \sqrt{2 x + 1} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x \geq 0 \\ x^{2} - 2 x - 1 = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt{2}

.
Suy ra

a = 1

và

b = 2

. Vậy

a + b^{3} = 1 + 2^{3} = 9

.

Đáp án D.

Click để xem thêm...

Câu hỏi này có trong đề thi

Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán - Phát triển đề minh họa - Đề 24 (Bộ thực chiến)

50 câu hỏi
90 phút
9 lượt thi

Bắt đầu thi

Bạn phải đăng nhập hoặc đăng kí để trả lời.

Chia sẻ:

Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Link

Quảng cáo

Top