Google
Câu hỏi: Biết phương trình ${{2022}^{x}}-{{2022}^{\sqrt{2x+1}}}=1-{{x}^{2}}+2\sqrt{2x+1}$ có một nghiệm dạng $x=a+\sqrt{b}$ (trong đó $a,b$ là các số nguyên). Tính $a+{{b}^{3}}$.
A. $3$.
B. $10$.
C. $7$.
D. $9$.
A. $3$.
B. $10$.
C. $7$.
D. $9$.
Ta có
$\begin{aligned}
& {{2022}^{x}}-{{2022}^{\sqrt{2x+1}}}=1-{{x}^{2}}+2\sqrt{2x+1}\Leftrightarrow {{2022}^{x}}+{{x}^{2}}+2x+1=2x+2+2\sqrt{2x+1}+{{2022}^{\sqrt{2x+1}}} \\
& \Leftrightarrow {{2022}^{x}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{2x+1}+1 \right)}^{2}}+{{2022}^{\sqrt{2x+1}}}. \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2022}^{t}}+{{\left( t+1 \right)}^{2}}$, $t\in \left[ 0;+\infty \right)$.
Ta có ${f}'\left( t \right)={{2022}^{t}}\ln 2022+2\left( t+1 \right)>0,\forall t\in \left[ 0;+\infty \right)$ nên hàm số $y=f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left[ 0;+\infty \right)$. Khi đó $f\left( x \right)=f\left( \sqrt{2x+1} \right)\Leftrightarrow x=\sqrt{2x+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}-2x-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=1+\sqrt{2}$.
Suy ra $a=1$ và $b=2$. Vậy $a+{{b}^{3}}=1+{{2}^{3}}=9$.
$\begin{aligned}
& {{2022}^{x}}-{{2022}^{\sqrt{2x+1}}}=1-{{x}^{2}}+2\sqrt{2x+1}\Leftrightarrow {{2022}^{x}}+{{x}^{2}}+2x+1=2x+2+2\sqrt{2x+1}+{{2022}^{\sqrt{2x+1}}} \\
& \Leftrightarrow {{2022}^{x}}+{{\left( x+1 \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{2x+1}+1 \right)}^{2}}+{{2022}^{\sqrt{2x+1}}}. \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2022}^{t}}+{{\left( t+1 \right)}^{2}}$, $t\in \left[ 0;+\infty \right)$.
Ta có ${f}'\left( t \right)={{2022}^{t}}\ln 2022+2\left( t+1 \right)>0,\forall t\in \left[ 0;+\infty \right)$ nên hàm số $y=f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left[ 0;+\infty \right)$. Khi đó $f\left( x \right)=f\left( \sqrt{2x+1} \right)\Leftrightarrow x=\sqrt{2x+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}-2x-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=1+\sqrt{2}$.
Suy ra $a=1$ và $b=2$. Vậy $a+{{b}^{3}}=1+{{2}^{3}}=9$.
Đáp án D.