Biết phương trình ${{z}^{2}}+mz+n=0$ (với $m,n$ là các tham số...

Cách 1: Vì $z=1+i$ là nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+mz+n=0$ nên:
${{\left( 1+i \right)}^{2}}+m\left( 1+i \right)+n=0\Leftrightarrow m+n+\left( 2+m \right)i=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m+n=0 \\
& 2+m=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=-2 \\
& n=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}=2\sqrt{2}$
Cách 2: Vì $z=1+i$ là nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+mz+n=0$ nên $\overline{z}=1-i$ cũng là nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+mz+n=0$
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& -m=z+\overline{z}=\left( 1+i \right)+\left( 1-i \right)=2 \\
& n=z.\overline{z}=\left( 1+i \right).\left( 1-i \right)=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{m}^{2}}+{{n}^{2}}}=2\sqrt{2}$
Nếu z là một nghiệm của phương trình bậc hai dạng $a{{z}^{2}}+bz+c=0$ thì $\overline{z}$ là nghiệm còn lại của phương trình $a{{z}^{2}}+bz+c=0$.