Biết phương trình $z^2+mz+m^2-2=0$ ( $m$ là tham số...

Ta có: $\mathrm{\Delta }=m^2-4(m^2-2)=-3m^2+8$
Trường hợp 1: $\mathrm{\Delta }>0\iff -3m^2+8>0\iff {\displaystyle \frac{-2\sqrt{6}}{3}}<m<{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}$. Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt là $z_1,z_2$.
Vì $A,B\in Ox$ nên $AB=|z_1-z_2|=\sqrt{{(z_1-z_2)}^2}=\sqrt{{(z_1+z_2)}^2-4z_1{z}_2}=\sqrt{-3m^2+8}$.
Mặt khác, ta có $C(0;1)\Rightarrow d(C;AB)=1$.
$\Rightarrow S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AB.d(C;AB)={\displaystyle \frac{\sqrt{-3m^2+8}}{2}}=1\iff \left(n\right)$.
Trường hợp 2: $\mathrm{\Delta }<0\iff -3m^2+8<0\iff [\begin{array}{c}m>{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}\\ m<{\displaystyle \frac{-2\sqrt{6}}{3}}\end{array}$. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp là $z_{1,2}={\displaystyle \frac{-m+i\sqrt{\left|\mathrm{\Delta }\right|}}{2}}$.
Ta có: $AB=|z_1-z_2|=\left|i\sqrt{\left|\mathrm{\Delta }\right|}\right|=\sqrt{|-3m^2+8|}=\sqrt{3m^2-8}$ và $C(0;1)$.
Phương trình đường thẳng $AB$ là $x+{\displaystyle \frac{m}{2}}=0$ nên $d(C;AB)={\displaystyle \frac{\left|m\right|}{2}}$.
Do đó, $S_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AB.d(C;AB)={\displaystyle \frac{\left|m\right|\sqrt{3m^2-8}}{4}}=1\iff [\begin{array}{rl}& m^2=4\\ & m^2=-{\displaystyle \frac{4}{3}}(VN)\end{array}\iff m=\pm 2$.
Vậy có 4 giá trị thực của tham số $m$ thỏa mãn đề bài.