Câu hỏi: Biết phương trình ${{z}^{2}}+mz+{{m}^{2}}-2=0$ ( $m$ là tham số thực) có hai nghiệm phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$. Gọi $A,B,C$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ và ${{z}_{0}}=i$. Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để diện tích tam giác $ABC$ bằng 1?
A. $2$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $6$
A. $2$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $6$
Ta có: $\Delta ={{m}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-2 \right)=-3{{m}^{2}}+8$
Trường hợp 1: $\Delta >0\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+8>0\Leftrightarrow \dfrac{-2\sqrt{6}}{3}<m<\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$. Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt là ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$.
Vì $A,B\in Ox$ nên $AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}}}=\sqrt{-3{{m}^{2}}+8}$.
Mặt khác, ta có $C\left( 0;1 \right)\Rightarrow d\left( C;AB \right)=1$.
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.d\left( C;AB \right)=\dfrac{\sqrt{-3{{m}^{2}}+8}}{2}=1\Leftrightarrow \left( n \right)$.
Trường hợp 2: $\Delta <0\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+8<0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m>\dfrac{2\sqrt{6}}{3} \\
m<\dfrac{-2\sqrt{6}}{3} \\
\end{matrix} \right. $. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp là $ {{z}_{1,2}}=\dfrac{-m+i\sqrt{\left| \Delta \right|}}{2}$.
Ta có: $AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| i\sqrt{\left| \Delta \right|} \right|=\sqrt{\left| -3{{m}^{2}}+8 \right|}=\sqrt{3{{m}^{2}}-8}$ và $C\left( 0;1 \right)$.
Phương trình đường thẳng $AB$ là $x+\dfrac{m}{2}=0$ nên $d\left( C;AB \right)=\dfrac{\left| m \right|}{2}$.
Do đó, ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.d\left( C;AB \right)=\dfrac{\left| m \right|\sqrt{3{{m}^{2}}-8}}{4}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}=4 \\
& {{m}^{2}}=-\dfrac{4}{3}(VN) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=\pm 2$.
Vậy có 4 giá trị thực của tham số $m$ thỏa mãn đề bài.
Trường hợp 1: $\Delta >0\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+8>0\Leftrightarrow \dfrac{-2\sqrt{6}}{3}<m<\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$. Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt là ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$.
Vì $A,B\in Ox$ nên $AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}}}=\sqrt{-3{{m}^{2}}+8}$.
Mặt khác, ta có $C\left( 0;1 \right)\Rightarrow d\left( C;AB \right)=1$.
$\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.d\left( C;AB \right)=\dfrac{\sqrt{-3{{m}^{2}}+8}}{2}=1\Leftrightarrow \left( n \right)$.
Trường hợp 2: $\Delta <0\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+8<0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m>\dfrac{2\sqrt{6}}{3} \\
m<\dfrac{-2\sqrt{6}}{3} \\
\end{matrix} \right. $. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp là $ {{z}_{1,2}}=\dfrac{-m+i\sqrt{\left| \Delta \right|}}{2}$.
Ta có: $AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| i\sqrt{\left| \Delta \right|} \right|=\sqrt{\left| -3{{m}^{2}}+8 \right|}=\sqrt{3{{m}^{2}}-8}$ và $C\left( 0;1 \right)$.
Phương trình đường thẳng $AB$ là $x+\dfrac{m}{2}=0$ nên $d\left( C;AB \right)=\dfrac{\left| m \right|}{2}$.
Do đó, ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.d\left( C;AB \right)=\dfrac{\left| m \right|\sqrt{3{{m}^{2}}-8}}{4}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}=4 \\
& {{m}^{2}}=-\dfrac{4}{3}(VN) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=\pm 2$.
Vậy có 4 giá trị thực của tham số $m$ thỏa mãn đề bài.
Đáp án C.