Google
Câu hỏi: Biết phương trình ${{z}^{2}}+mz+8-{{m}^{2}}=0$ ( $m$ là tham số thực) có hai nghiệm ${z_1, z_2}$. Gọi ${A,
B, C} $ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức $ {z_1, z_2} $ và $ {z_0=2} $. Có bao nhiêu giá trị của $ {m} $ để $ {\Delta A B C}$ đều?
A. 1.
B. 3.
C. 4.
D. 2.
B, C} $ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức $ {z_1, z_2} $ và $ {z_0=2} $. Có bao nhiêu giá trị của $ {m} $ để $ {\Delta A B C}$ đều?
A. 1.
B. 3.
C. 4.
D. 2.
Để tồn tại ${\Delta A B C}$ thì ${z_1, z_2}$ phải là hai nghiệm không thuần thực của phương trình ${{z}^{2}}+mz+8-{{m}^{2}}=0$.
Suy ra $\Delta <0\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-32<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}<\dfrac{32}{5}\Leftrightarrow -\sqrt{\dfrac{32}{5}}<m<\sqrt{\dfrac{32}{5}}$.
Khi đó ${{z}_{1,2}}=\dfrac{-m\pm i\sqrt{-\Delta }}{2}$. Suy ra $A\left( \dfrac{-m}{2};\dfrac{\sqrt{-\Delta }}{2} \right),B\left( \dfrac{-m}{2};-\dfrac{\sqrt{-\Delta }}{2} \right),C\left( 2;0 \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& A{{B}^{2}}={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{m}^{2}}-4\left( 8-{{m}^{2}} \right)=5{{m}^{2}}-32\Rightarrow AB=\sqrt{32-5{{m}^{2}}} \\
& AC=BC=\sqrt{{{\left( 2+\dfrac{m}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{-\Delta }}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{-4{{m}^{2}}+8m+48} \\
\end{aligned} \right.$.
Để ${\Delta A B C}$ đều thì $AB=AC\Leftrightarrow \sqrt{32-5{{m}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{-4{{m}^{2}}+8m+48}$
$\Leftrightarrow 32-5{{m}^{2}}=-{{m}^{2}}+2m+12\Leftrightarrow -4{{m}^{2}}-2m+20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{5}{2}\left( n \right) \\
& m=2\left( n \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có 2 giá trị của ${m}$ để ${\Delta A B C}$ đều.
Suy ra $\Delta <0\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-32<0\Leftrightarrow {{m}^{2}}<\dfrac{32}{5}\Leftrightarrow -\sqrt{\dfrac{32}{5}}<m<\sqrt{\dfrac{32}{5}}$.
Khi đó ${{z}_{1,2}}=\dfrac{-m\pm i\sqrt{-\Delta }}{2}$. Suy ra $A\left( \dfrac{-m}{2};\dfrac{\sqrt{-\Delta }}{2} \right),B\left( \dfrac{-m}{2};-\dfrac{\sqrt{-\Delta }}{2} \right),C\left( 2;0 \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& A{{B}^{2}}={{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{m}^{2}}-4\left( 8-{{m}^{2}} \right)=5{{m}^{2}}-32\Rightarrow AB=\sqrt{32-5{{m}^{2}}} \\
& AC=BC=\sqrt{{{\left( 2+\dfrac{m}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{-\Delta }}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{-4{{m}^{2}}+8m+48} \\
\end{aligned} \right.$.
Để ${\Delta A B C}$ đều thì $AB=AC\Leftrightarrow \sqrt{32-5{{m}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{-4{{m}^{2}}+8m+48}$
$\Leftrightarrow 32-5{{m}^{2}}=-{{m}^{2}}+2m+12\Leftrightarrow -4{{m}^{2}}-2m+20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{5}{2}\left( n \right) \\
& m=2\left( n \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có 2 giá trị của ${m}$ để ${\Delta A B C}$ đều.
Đáp án D.