Biết phương trình ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0,\left(...

+) Xét phương trình ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0\left( 1 \right),$ $\left( a,b,c,d\in \mathbb{R} \right).$
+) Nhận thấy: Nếu z là nghiệm của $\left( 1 \right)$ thì $\overline{z}$ cũng là nghiệm của $\left( 1 \right).$
+) Do đó, (1) có bốn nghiệm ${{z}_{1}}=-1+i,{{z}_{2}}=1+\sqrt{2}i,{{z}_{3}}=\overline{{{z}_{1}}}=-1-i,{{z}_{4}}=\overline{{{z}_{2}}}=1-\sqrt{2}i.$
+) Mà $\left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}+{{z}_{3}}=-2 \\
& {{z}_{1}}.{{z}_{3}}=2 \\
\end{aligned} \right. $ và $ \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{2}}+{{z}_{4}}=2 \\
& {{z}_{2}}.{{z}_{4}}=3 \\
\end{aligned} \right..$
+) Do đó ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+2x+6.$
Suy ra $a=0,b=1,c=2,d=6$ hay $a+b+c+d=9.$